Theorem sin01gt0 11724

Description: The sine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 25-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sin01gt0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin01gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 7966	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		1re 7919	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		elioc2 9893	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
4	1, 2, 3	mp2an 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1007	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		3nn0 9153	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		reexpcl 10493	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	sylancl 411	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9		3re 8952	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
10		3ap0 8974	. . . . . 6 ⊢ 3 # 0
11		redivclap 8648	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 # 0) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	mp3an23 1324	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
13	8, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
14		3z 9241	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
15		expgt0 10509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
16	14, 15	mp3an2 1320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
17	16	3adant3 1012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 0 < (𝐴↑3))
18	4, 17	sylbi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴↑3))
19		0lt1 8046	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
20	2, 19	pm3.2i 270	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
21		3pos 8972	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
22	9, 21	pm3.2i 270	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
23		1lt3 9049	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
24		ltdiv2 8803	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → (1 < 3 ↔ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1)))
25	23, 24	mpbii 147	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
26	20, 22, 25	mp3an12 1322	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3)) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
27	8, 18, 26	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
28	8	recnd 7948	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
29	28	div1d 8697	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 1) = (𝐴↑3))
30	27, 29	breqtrd 4015	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < (𝐴↑3))
31		1nn0 9151	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
32	31	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 1 ∈ ℕ0)
33		1le3 9089	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 3
34		1z 9238	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
35	34	eluz1i 9494	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3))
36	14, 33, 35	mpbir2an 937	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘1)
37	36	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ (ℤ≥‘1))
38	4	simp2bi 1008	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
39		0re 7920	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
40		ltle 8007	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
41	39, 5, 40	sylancr 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
42	38, 41	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
43	4	simp3bi 1009	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
44	5, 32, 37, 42, 43	leexp2rd 10639	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ (𝐴↑1))
45	5	recnd 7948	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
46	45	exp1d 10604	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑1) = 𝐴)
47	44, 46	breqtrd 4015	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ 𝐴)
48	13, 8, 5, 30, 47	ltletrd 8342	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < 𝐴)
49	13, 5	posdifd 8451	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3))))
50	48, 49	mpbid 146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
51		sin01bnd 11720	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
52	51	simpld 111	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴))
53	5, 13	resubcld 8300	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ)
54	5	resincld 11686	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
55		lttr 7993	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
56	39, 53, 54, 55	mp3an2i 1337	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
57	50, 52, 56	mp2and 431	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775  ℝ^*cxr 7953   < clt 7954   ≤ cle 7955   − cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589  3c3 8930  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  (,]cioc 9846  ↑cexp 10475  sincsin 11607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ioc 9850  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-ihash 10710  df-shft 10779  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611  df-sin 11613

This theorem is referenced by:  sin02gt0  11726  sincos1sgn  11727  sincos4thpi  13555