ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sin01gt0 GIF version

Theorem sin01gt0 11771
Description: The sine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 25-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sin01gt0 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))

Proof of Theorem sin01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 8006 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
2 1re 7958 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3 elioc2 9938 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1)))
41, 2, 3mp2an 426 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1))
54simp1bi 1012 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 3nn0 9196 . . . . . 6 3 ∈ β„•0
7 reexpcl 10539 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
85, 6, 7sylancl 413 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9 3re 8995 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
10 3ap0 9017 . . . . . 6 3 # 0
11 redivclap 8690 . . . . . 6 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 # 0) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
129, 10, 11mp3an23 1329 . . . . 5 ((𝐴↑3) ∈ ℝ β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
138, 12syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
14 3z 9284 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„€
15 expgt0 10555 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 < (𝐴↑3))
1614, 15mp3an2 1325 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 < (𝐴↑3))
17163adant3 1017 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1) β†’ 0 < (𝐴↑3))
184, 17sylbi 121 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (𝐴↑3))
19 0lt1 8086 . . . . . . . 8 0 < 1
202, 19pm3.2i 272 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
21 3pos 9015 . . . . . . . 8 0 < 3
229, 21pm3.2i 272 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
23 1lt3 9092 . . . . . . . 8 1 < 3
24 ltdiv2 8846 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) β†’ (1 < 3 ↔ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1)))
2523, 24mpbii 148 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) β†’ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
2620, 22, 25mp3an12 1327 . . . . . 6 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3)) β†’ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
278, 18, 26syl2anc 411 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
288recnd 7988 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ∈ β„‚)
2928div1d 8739 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 1) = (𝐴↑3))
3027, 29breqtrd 4031 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) < (𝐴↑3))
31 1nn0 9194 . . . . . . 7 1 ∈ β„•0
3231a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 1 ∈ β„•0)
33 1le3 9132 . . . . . . . 8 1 ≀ 3
34 1z 9281 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„€
3534eluz1i 9537 . . . . . . . 8 (3 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ↔ (3 ∈ β„€ ∧ 1 ≀ 3))
3614, 33, 35mpbir2an 942 . . . . . . 7 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)
3736a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
384simp2bi 1013 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < 𝐴)
39 0re 7959 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
40 ltle 8047 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
4139, 5, 40sylancr 414 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
4238, 41mpd 13 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 ≀ 𝐴)
434simp3bi 1014 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ≀ 1)
445, 32, 37, 42, 43leexp2rd 10686 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ≀ (𝐴↑1))
455recnd 7988 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4645exp1d 10651 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑1) = 𝐴)
4744, 46breqtrd 4031 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ≀ 𝐴)
4813, 8, 5, 30, 47ltletrd 8382 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) < 𝐴)
4913, 5posdifd 8491 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴↑3) / 3) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3))))
5048, 49mpbid 147 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)))
51 sin01bnd 11767 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴))
5251simpld 112 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄))
535, 13resubcld 8340 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ)
545resincld 11733 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ)
55 lttr 8033 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ ((0 < (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄)) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄)))
5639, 53, 54, 55mp3an2i 1342 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((0 < (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄)) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄)))
5750, 52, 56mp2and 433 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814  β„*cxr 7993   < clt 7994   ≀ cle 7995   βˆ’ cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631  3c3 8973  β„•0cn0 9178  β„€cz 9255  β„€β‰₯cuz 9530  (,]cioc 9891  β†‘cexp 10521  sincsin 11654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-ioc 9895  df-ico 9896  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708  df-ihash 10758  df-shft 10826  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364  df-ef 11658  df-sin 11660
This theorem is referenced by:  sin02gt0  11773  sincos1sgn  11774  sincos4thpi  14300
  Copyright terms: Public domain W3C validator