ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sin01gt0 GIF version

Theorem sin01gt0 11395
Description: The sine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 25-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sin01gt0 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 7780 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
2 1re 7733 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3 elioc2 9687 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
41, 2, 3mp2an 422 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
54simp1bi 981 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 3nn0 8963 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
7 reexpcl 10278 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
85, 6, 7sylancl 409 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9 3re 8762 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
10 3ap0 8784 . . . . . 6 3 # 0
11 redivclap 8459 . . . . . 6 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 # 0) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
129, 10, 11mp3an23 1292 . . . . 5 ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
138, 12syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
14 3z 9051 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
15 expgt0 10294 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
1614, 15mp3an2 1288 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
17163adant3 986 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → 0 < (𝐴↑3))
184, 17sylbi 120 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴↑3))
19 0lt1 7857 . . . . . . . 8 0 < 1
202, 19pm3.2i 270 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
21 3pos 8782 . . . . . . . 8 0 < 3
229, 21pm3.2i 270 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
23 1lt3 8859 . . . . . . . 8 1 < 3
24 ltdiv2 8613 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → (1 < 3 ↔ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1)))
2523, 24mpbii 147 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
2620, 22, 25mp3an12 1290 . . . . . 6 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3)) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
278, 18, 26syl2anc 408 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
288recnd 7762 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
2928div1d 8508 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 1) = (𝐴↑3))
3027, 29breqtrd 3924 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < (𝐴↑3))
31 1nn0 8961 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
3231a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 1 ∈ ℕ0)
33 1le3 8899 . . . . . . . 8 1 ≤ 3
34 1z 9048 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
3534eluz1i 9301 . . . . . . . 8 (3 ∈ (ℤ‘1) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3))
3614, 33, 35mpbir2an 911 . . . . . . 7 3 ∈ (ℤ‘1)
3736a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ (ℤ‘1))
384simp2bi 982 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
39 0re 7734 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
40 ltle 7819 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
4139, 5, 40sylancr 410 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
4238, 41mpd 13 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
434simp3bi 983 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
445, 32, 37, 42, 43leexp2rd 10422 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ (𝐴↑1))
455recnd 7762 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
4645exp1d 10387 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑1) = 𝐴)
4744, 46breqtrd 3924 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ 𝐴)
4813, 8, 5, 30, 47ltletrd 8153 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < 𝐴)
4913, 5posdifd 8262 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3))))
5048, 49mpbid 146 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
51 sin01bnd 11391 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
5251simpld 111 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴))
535, 13resubcld 8111 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ)
545resincld 11357 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
55 lttr 7806 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
5639, 53, 54, 55mp3an2i 1305 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
5750, 52, 56mp2and 429 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 947  wcel 1465   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589  *cxr 7767   < clt 7768  cle 7769  cmin 7901   # cap 8311   / cdiv 8400  3c3 8740  0cn0 8945  cz 9022  cuz 9294  (,]cioc 9640  cexp 10260  sincsin 11277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-5 8750  df-6 8751  df-7 8752  df-8 8753  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-ioc 9644  df-ico 9645  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-fac 10440  df-ihash 10490  df-shft 10555  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016  df-sumdc 11091  df-ef 11281  df-sin 11283
This theorem is referenced by:  sin02gt0  11397  sincos1sgn  11398  sincos4thpi  12848
  Copyright terms: Public domain W3C validator