ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sin01gt0 GIF version

Theorem sin01gt0 11692
Description: The sine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 25-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sin01gt0 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 7937 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
2 1re 7890 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3 elioc2 9864 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
41, 2, 3mp2an 423 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
54simp1bi 1001 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 3nn0 9124 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
7 reexpcl 10463 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
85, 6, 7sylancl 410 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9 3re 8923 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
10 3ap0 8945 . . . . . 6 3 # 0
11 redivclap 8619 . . . . . 6 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 # 0) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
129, 10, 11mp3an23 1318 . . . . 5 ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
138, 12syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
14 3z 9212 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
15 expgt0 10479 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
1614, 15mp3an2 1314 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
17163adant3 1006 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → 0 < (𝐴↑3))
184, 17sylbi 120 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴↑3))
19 0lt1 8017 . . . . . . . 8 0 < 1
202, 19pm3.2i 270 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
21 3pos 8943 . . . . . . . 8 0 < 3
229, 21pm3.2i 270 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
23 1lt3 9020 . . . . . . . 8 1 < 3
24 ltdiv2 8774 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → (1 < 3 ↔ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1)))
2523, 24mpbii 147 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
2620, 22, 25mp3an12 1316 . . . . . 6 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3)) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
278, 18, 26syl2anc 409 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
288recnd 7919 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
2928div1d 8668 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 1) = (𝐴↑3))
3027, 29breqtrd 4003 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < (𝐴↑3))
31 1nn0 9122 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
3231a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 1 ∈ ℕ0)
33 1le3 9060 . . . . . . . 8 1 ≤ 3
34 1z 9209 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
3534eluz1i 9465 . . . . . . . 8 (3 ∈ (ℤ‘1) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3))
3614, 33, 35mpbir2an 931 . . . . . . 7 3 ∈ (ℤ‘1)
3736a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ (ℤ‘1))
384simp2bi 1002 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
39 0re 7891 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
40 ltle 7978 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
4139, 5, 40sylancr 411 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
4238, 41mpd 13 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
434simp3bi 1003 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
445, 32, 37, 42, 43leexp2rd 10608 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ (𝐴↑1))
455recnd 7919 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
4645exp1d 10573 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑1) = 𝐴)
4744, 46breqtrd 4003 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ 𝐴)
4813, 8, 5, 30, 47ltletrd 8313 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < 𝐴)
4913, 5posdifd 8422 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3))))
5048, 49mpbid 146 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
51 sin01bnd 11688 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
5251simpld 111 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴))
535, 13resubcld 8271 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ)
545resincld 11654 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
55 lttr 7964 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
5639, 53, 54, 55mp3an2i 1331 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
5750, 52, 56mp2and 430 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 967  wcel 2135   class class class wbr 3977  cfv 5183  (class class class)co 5837  cr 7744  0cc0 7745  1c1 7746  *cxr 7924   < clt 7925  cle 7926  cmin 8061   # cap 8471   / cdiv 8560  3c3 8901  0cn0 9106  cz 9183  cuz 9458  (,]cioc 9817  cexp 10445  sincsin 11575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4092  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-iinf 4560  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-1cn 7838  ax-1re 7839  ax-icn 7840  ax-addcl 7841  ax-addrcl 7842  ax-mulcl 7843  ax-mulrcl 7844  ax-addcom 7845  ax-mulcom 7846  ax-addass 7847  ax-mulass 7848  ax-distr 7849  ax-i2m1 7850  ax-0lt1 7851  ax-1rid 7852  ax-0id 7853  ax-rnegex 7854  ax-precex 7855  ax-cnre 7856  ax-pre-ltirr 7857  ax-pre-ltwlin 7858  ax-pre-lttrn 7859  ax-pre-apti 7860  ax-pre-ltadd 7861  ax-pre-mulgt0 7862  ax-pre-mulext 7863  ax-arch 7864  ax-caucvg 7865
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-if 3517  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-tr 4076  df-id 4266  df-po 4269  df-iso 4270  df-iord 4339  df-on 4341  df-ilim 4342  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-isom 5192  df-riota 5793  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-1st 6101  df-2nd 6102  df-recs 6265  df-irdg 6330  df-frec 6351  df-1o 6376  df-oadd 6380  df-er 6493  df-en 6699  df-dom 6700  df-fin 6701  df-pnf 7927  df-mnf 7928  df-xr 7929  df-ltxr 7930  df-le 7931  df-sub 8063  df-neg 8064  df-reap 8465  df-ap 8472  df-div 8561  df-inn 8850  df-2 8908  df-3 8909  df-4 8910  df-5 8911  df-6 8912  df-7 8913  df-8 8914  df-n0 9107  df-z 9184  df-uz 9459  df-q 9550  df-rp 9582  df-ioc 9821  df-ico 9822  df-fz 9937  df-fzo 10069  df-seqfrec 10372  df-exp 10446  df-fac 10629  df-ihash 10679  df-shft 10747  df-cj 10774  df-re 10775  df-im 10776  df-rsqrt 10930  df-abs 10931  df-clim 11210  df-sumdc 11285  df-ef 11579  df-sin 11581
This theorem is referenced by:  sin02gt0  11694  sincos1sgn  11695  sincos4thpi  13328
  Copyright terms: Public domain W3C validator