Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sin01gt0 GIF version

Theorem sin01gt0 11106
 Description: The sine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 25-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sin01gt0 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 7588 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
2 1re 7541 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3 elioc2 9408 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
41, 2, 3mp2an 418 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
54simp1bi 959 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 3nn0 8745 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
7 reexpcl 10026 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
85, 6, 7sylancl 405 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9 3re 8550 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
10 3ap0 8572 . . . . . 6 3 # 0
11 redivclap 8252 . . . . . 6 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 # 0) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
129, 10, 11mp3an23 1266 . . . . 5 ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
138, 12syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
14 3z 8833 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
15 expgt0 10042 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
1614, 15mp3an2 1262 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
17163adant3 964 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → 0 < (𝐴↑3))
184, 17sylbi 120 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴↑3))
19 0lt1 7664 . . . . . . . 8 0 < 1
202, 19pm3.2i 267 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
21 3pos 8570 . . . . . . . 8 0 < 3
229, 21pm3.2i 267 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
23 1lt3 8641 . . . . . . . 8 1 < 3
24 ltdiv2 8402 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → (1 < 3 ↔ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1)))
2523, 24mpbii 147 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
2620, 22, 25mp3an12 1264 . . . . . 6 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3)) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
278, 18, 26syl2anc 404 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
288recnd 7570 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
2928div1d 8301 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 1) = (𝐴↑3))
3027, 29breqtrd 3875 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < (𝐴↑3))
31 1nn0 8743 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
3231a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 1 ∈ ℕ0)
33 1le3 8681 . . . . . . . 8 1 ≤ 3
34 1z 8830 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
3534eluz1i 9080 . . . . . . . 8 (3 ∈ (ℤ‘1) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3))
3614, 33, 35mpbir2an 889 . . . . . . 7 3 ∈ (ℤ‘1)
3736a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ (ℤ‘1))
384simp2bi 960 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
39 0re 7542 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
40 ltle 7626 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
4139, 5, 40sylancr 406 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
4238, 41mpd 13 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
434simp3bi 961 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
445, 32, 37, 42, 43leexp2rd 10170 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ (𝐴↑1))
455recnd 7570 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
4645exp1d 10135 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑1) = 𝐴)
4744, 46breqtrd 3875 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ 𝐴)
4813, 8, 5, 30, 47ltletrd 7955 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < 𝐴)
4913, 5posdifd 8063 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3))))
5048, 49mpbid 146 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
51 sin01bnd 11102 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
5251simpld 111 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴))
535, 13resubcld 7913 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ)
545resincld 11068 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
55 lttr 7613 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
5639, 53, 54, 55mp3an2i 1279 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
5750, 52, 56mp2and 425 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 925   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  ℝcr 7403  0cc0 7404  1c1 7405  ℝ*cxr 7575   < clt 7576   ≤ cle 7577   − cmin 7707   # cap 8112   / cdiv 8193  3c3 8528  ℕ0cn0 8727  ℤcz 8804  ℤ≥cuz 9073  (,]cioc 9361  ↑cexp 10008  sincsin 10988 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517  ax-arch 7518  ax-caucvg 7519 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-3 8536  df-4 8537  df-5 8538  df-6 8539  df-7 8540  df-8 8541  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-q 9159  df-rp 9189  df-ioc 9365  df-ico 9366  df-fz 9479  df-fzo 9608  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009  df-fac 10188  df-ihash 10238  df-shft 10303  df-cj 10330  df-re 10331  df-im 10332  df-rsqrt 10485  df-abs 10486  df-clim 10721  df-isum 10797  df-ef 10992  df-sin 10994 This theorem is referenced by:  sin02gt0  11108  sincos1sgn  11109
 Copyright terms: Public domain W3C validator