Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sin01gt0 GIF version

Theorem sin01gt0 11475
 Description: The sine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 25-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sin01gt0 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 7819 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
2 1re 7772 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3 elioc2 9726 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
41, 2, 3mp2an 422 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
54simp1bi 996 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 3nn0 9002 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
7 reexpcl 10317 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
85, 6, 7sylancl 409 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9 3re 8801 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
10 3ap0 8823 . . . . . 6 3 # 0
11 redivclap 8498 . . . . . 6 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 # 0) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
129, 10, 11mp3an23 1307 . . . . 5 ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
138, 12syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
14 3z 9090 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
15 expgt0 10333 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
1614, 15mp3an2 1303 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
17163adant3 1001 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → 0 < (𝐴↑3))
184, 17sylbi 120 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴↑3))
19 0lt1 7896 . . . . . . . 8 0 < 1
202, 19pm3.2i 270 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
21 3pos 8821 . . . . . . . 8 0 < 3
229, 21pm3.2i 270 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
23 1lt3 8898 . . . . . . . 8 1 < 3
24 ltdiv2 8652 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → (1 < 3 ↔ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1)))
2523, 24mpbii 147 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
2620, 22, 25mp3an12 1305 . . . . . 6 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3)) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
278, 18, 26syl2anc 408 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
288recnd 7801 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
2928div1d 8547 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 1) = (𝐴↑3))
3027, 29breqtrd 3954 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < (𝐴↑3))
31 1nn0 9000 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
3231a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 1 ∈ ℕ0)
33 1le3 8938 . . . . . . . 8 1 ≤ 3
34 1z 9087 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
3534eluz1i 9340 . . . . . . . 8 (3 ∈ (ℤ‘1) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3))
3614, 33, 35mpbir2an 926 . . . . . . 7 3 ∈ (ℤ‘1)
3736a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ (ℤ‘1))
384simp2bi 997 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
39 0re 7773 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
40 ltle 7858 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
4139, 5, 40sylancr 410 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
4238, 41mpd 13 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
434simp3bi 998 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
445, 32, 37, 42, 43leexp2rd 10461 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ (𝐴↑1))
455recnd 7801 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
4645exp1d 10426 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑1) = 𝐴)
4744, 46breqtrd 3954 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ 𝐴)
4813, 8, 5, 30, 47ltletrd 8192 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < 𝐴)
4913, 5posdifd 8301 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3))))
5048, 49mpbid 146 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
51 sin01bnd 11471 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
5251simpld 111 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴))
535, 13resubcld 8150 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ)
545resincld 11437 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
55 lttr 7845 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
5639, 53, 54, 55mp3an2i 1320 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
5750, 52, 56mp2and 429 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℝcr 7626  0cc0 7627  1c1 7628  ℝ*cxr 7806   < clt 7807   ≤ cle 7808   − cmin 7940   # cap 8350   / cdiv 8439  3c3 8779  ℕ0cn0 8984  ℤcz 9061  ℤ≥cuz 9333  (,]cioc 9679  ↑cexp 10299  sincsin 11357 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-ioc 9683  df-ico 9684  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-ihash 10529  df-shft 10594  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363 This theorem is referenced by:  sin02gt0  11477  sincos1sgn  11478  sincos4thpi  12931
 Copyright terms: Public domain W3C validator