Theorem sin01gt0 11772

Description: The sine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 25-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sin01gt0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin01gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8007	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		1re 7959	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		elioc2 9939	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1012	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		3nn0 9197	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		reexpcl 10540	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9		3re 8996	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
10		3ap0 9018	. . . . . 6 ⊢ 3 # 0
11		redivclap 8691	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 # 0) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	mp3an23 1329	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
13	8, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
14		3z 9285	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
15		expgt0 10556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
16	14, 15	mp3an2 1325	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
17	16	3adant3 1017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 0 < (𝐴↑3))
18	4, 17	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴↑3))
19		0lt1 8087	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
20	2, 19	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
21		3pos 9016	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
22	9, 21	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
23		1lt3 9093	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
24		ltdiv2 8847	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → (1 < 3 ↔ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1)))
25	23, 24	mpbii 148	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
26	20, 22, 25	mp3an12 1327	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3)) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
27	8, 18, 26	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
28	8	recnd 7989	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
29	28	div1d 8740	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 1) = (𝐴↑3))
30	27, 29	breqtrd 4031	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < (𝐴↑3))
31		1nn0 9195	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
32	31	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 1 ∈ ℕ0)
33		1le3 9133	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 3
34		1z 9282	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
35	34	eluz1i 9538	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3))
36	14, 33, 35	mpbir2an 942	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘1)
37	36	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ (ℤ≥‘1))
38	4	simp2bi 1013	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
39		0re 7960	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
40		ltle 8048	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
41	39, 5, 40	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
42	38, 41	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
43	4	simp3bi 1014	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
44	5, 32, 37, 42, 43	leexp2rd 10687	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ (𝐴↑1))
45	5	recnd 7989	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
46	45	exp1d 10652	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑1) = 𝐴)
47	44, 46	breqtrd 4031	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ 𝐴)
48	13, 8, 5, 30, 47	ltletrd 8383	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < 𝐴)
49	13, 5	posdifd 8492	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3))))
50	48, 49	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
51		sin01bnd 11768	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
52	51	simpld 112	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴))
53	5, 13	resubcld 8341	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ)
54	5	resincld 11734	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
55		lttr 8034	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
56	39, 53, 54, 55	mp3an2i 1342	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
57	50, 52, 56	mp2and 433	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  ℝcr 7813  0cc0 7814  1c1 7815  ℝ^*cxr 7994   < clt 7995   ≤ cle 7996   − cmin 8131   # cap 8541   / cdiv 8632  3c3 8974  ℕ₀cn0 9179  ℤcz 9256  ℤ_≥cuz 9531  (,]cioc 9892  ↑cexp 10522  sincsin 11655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-ioc 9896  df-ico 9897  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-fac 10709  df-ihash 10759  df-shft 10827  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365  df-ef 11659  df-sin 11661

This theorem is referenced by:  sin02gt0  11774  sincos1sgn  11775  sincos4thpi  14401