Theorem eluz2 9805

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9804	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp1 1024	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eluz1 9803	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
4		ibar 301	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
5	3, 4	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
6		3anass 1009	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
8	1, 2, 7	pm5.21nii 712	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333   ≤ cle 8257  ℤcz 9523  ℤ_≥cuz 9799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-neg 8395  df-z 9524  df-uz 9800

This theorem is referenced by:  eluzmn  9806  eluzuzle  9808  eluzelz  9809  eluzle  9812  uztrn  9817  eluzp1p1  9826  uznn0sub  9832  5eluz3  9839  uz3m2nn  9851  1eluzge0  9852  2eluzge1  9854  raluz2  9857  rexuz2  9859  peano2uz  9861  nn0pzuz  9865  uzind4  9866  nn0ge2m1nnALT  9896  elfzuzb  10299  uzsubsubfz  10327  ige2m1fz  10390  4fvwrd4  10420  elfzo2  10430  elfzouz2  10442  fzossrbm1  10455  fzossfzop1  10503  ssfzo12bi  10516  elfzonelfzo  10521  elfzomelpfzo  10522  fzosplitprm1  10526  fzostep1  10529  fzind2  10531  suprzubdc  10542  zsupssdc  10544  flqword2  10595  fldiv4p1lem1div2  10611  uzennn  10744  xnn0nnen  10745  seq3split  10796  iseqf1olemqk  10815  seq3f1olemqsumkj  10819  seq3f1olemqsumk  10820  seq3f1olemqsum  10821  bcval5  11071  seq3coll  11152  swrdsbslen  11296  swrdspsleq  11297  pfxtrcfv0  11324  pfxtrcfvl  11327  pfxccatin12lem2a  11357  seq3shft  11461  resqrexlemoverl  11644  resqrexlemga  11646  fsum3cvg3  12020  fisumrev2  12070  isumshft  12114  cvgratnnlemseq  12150  cvgratnnlemabsle  12151  cvgratnnlemsumlt  12152  cvgratz  12156  oddge22np1  12505  nn0o  12531  bitsmod  12580  uzwodc  12671  dvdsnprmd  12760  prmgt1  12767  oddprmgt2  12769  oddprmge3  12770  prm23ge5  12900  nninfdclemcl  13132  nninfdclemp1  13134  nninfdclemlt  13135  strleund  13249  strleun  13250  gsumfzz  13641  gsumfzcl  13645  gsumfzreidx  13987  gsumfzsubmcl  13988  gsumfzmptfidmadd  13989  gsumfzmhm  13993  gsumsplit0  13996  gsumfzfsum  14667  znidomb  14737  plyaddlem1  15541  2logb9irr  15765  2logb9irrap  15771  lgsdilem2  15838  gausslemma2dlem2  15864  gausslemma2dlem4  15866  gausslemma2dlem5  15868  gausslemma2dlem6  15869  lgsquadlem1  15879  lgsquadlem3  15881  2lgslem1  15893  clwwlkext2edg  16346  trlsegvdeglem6  16389  gsumgfsumlem  16795  gsumgfsum  16796