Theorem eluz2 9547

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9546	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp1 998	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eluz1 9545	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
4		ibar 301	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
5	3, 4	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
6		3anass 983	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
8	1, 2, 7	pm5.21nii 705	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  ‘cfv 5228   ≤ cle 8006  ℤcz 9266  ℤ_≥cuz 9541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-ov 5891  df-neg 8144  df-z 9267  df-uz 9542

This theorem is referenced by:  eluzuzle  9549  eluzelz  9550  eluzle  9553  uztrn  9557  eluzp1p1  9566  uznn0sub  9572  uz3m2nn  9586  1eluzge0  9587  2eluzge1  9589  raluz2  9592  rexuz2  9594  peano2uz  9596  nn0pzuz  9600  uzind4  9601  nn0ge2m1nnALT  9631  elfzuzb  10032  uzsubsubfz  10060  ige2m1fz  10123  4fvwrd4  10153  elfzo2  10163  elfzouz2  10174  fzossrbm1  10186  fzossfzop1  10225  ssfzo12bi  10238  elfzonelfzo  10243  elfzomelpfzo  10244  fzosplitprm1  10247  fzostep1  10250  fzind2  10252  flqword2  10302  fldiv4p1lem1div2  10318  uzennn  10449  seq3split  10492  iseqf1olemqk  10507  seq3f1olemqsumkj  10511  seq3f1olemqsumk  10512  seq3f1olemqsum  10513  bcval5  10756  seq3coll  10835  seq3shft  10860  resqrexlemoverl  11043  resqrexlemga  11045  fsum3cvg3  11417  fisumrev2  11467  isumshft  11511  cvgratnnlemseq  11547  cvgratnnlemabsle  11548  cvgratnnlemsumlt  11549  cvgratz  11553  oddge22np1  11899  nn0o  11925  suprzubdc  11966  zsupssdc  11968  uzwodc  12051  dvdsnprmd  12138  prmgt1  12145  oddprmgt2  12147  oddprmge3  12148  prm23ge5  12277  nninfdclemcl  12462  nninfdclemp1  12464  nninfdclemlt  12465  strleund  12576  strleun  12577  cnfldstr  13714  2logb9irr  14660  2logb9irrap  14666  lgsdilem2  14708