Theorem eluz2 9877

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9876	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp1 1024	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eluz1 9875	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
4		ibar 301	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
5	3, 4	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
6		3anass 1009	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
8	1, 2, 7	pm5.21nii 712	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357   ≤ cle 8325  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-neg 8463  df-z 9595  df-uz 9872

This theorem is referenced by:  eluzmn  9878  eluzuzle  9880  eluzelz  9881  eluzle  9884  uztrn  9889  eluzp1p1  9898  uznn0sub  9904  5eluz3  9911  uz3m2nn  9923  1eluzge0  9924  2eluzge1  9926  raluz2  9929  rexuz2  9931  peano2uz  9933  nn0pzuz  9937  uzind4  9938  nn0ge2m1nnALT  9968  elfzuzb  10372  uzsubsubfz  10401  ige2m1fz  10466  4fvwrd4  10496  elfzo2  10506  elfzouz2  10518  fzossrbm1  10531  fzossfzop1  10579  ssfzo12bi  10592  elfzonelfzo  10597  elfzomelpfzo  10598  fzosplitprm1  10602  fzostep1  10605  fzind2  10607  suprzubdc  10620  zsupssdc  10622  flqword2  10673  fldiv4p1lem1div2  10689  uzennn  10822  xnn0nnen  10823  seq3split  10874  iseqf1olemqk  10893  seq3f1olemqsumkj  10897  seq3f1olemqsumk  10898  seq3f1olemqsum  10899  bcval5  11150  seq3coll  11239  swrdsbslen  11383  swrdspsleq  11384  pfxtrcfv0  11411  pfxtrcfvl  11414  pfxccatin12lem2a  11444  seq3shft  11548  resqrexlemoverl  11731  resqrexlemga  11733  fsum3cvg3  12107  fisumrev2  12157  isumshft  12201  cvgratnnlemseq  12237  cvgratnnlemabsle  12238  cvgratnnlemsumlt  12239  cvgratz  12243  oddge22np1  12592  nn0o  12618  bitsmod  12667  uzwodc  12758  dvdsnprmd  12847  prmgt1  12854  oddprmgt2  12856  oddprmge3  12857  prm23ge5  12987  ballotfilemsdom  13199  ballotfilemsel1i  13200  ballotfilemfrceq  13216  nninfdclemcl  13283  nninfdclemp1  13285  nninfdclemlt  13286  strleund  13400  strleun  13401  gsumfzz  13750  gsumfzcl  13754  gsumfzreidx  14090  gsumfzsubmcl  14091  gsumfzmptfidmadd  14092  gsumfzmhm  14096  gsumsplit0  14099  gsumshift  14105  gsumgfsum  14106  gsumfzfsum  14862  znidomb  14932  plyaddlem1  15738  2logb9irr  15962  2logb9irrap  15968  lgsdilem2  16035  gausslemma2dlem2  16061  gausslemma2dlem4  16063  gausslemma2dlem5  16065  gausslemma2dlem6  16066  lgsquadlem1  16076  lgsquadlem3  16078  2lgslem1  16090  clwwlkext2edg  16543  trlsegvdeglem6  16586