Theorem eluz2 9486

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9485	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp1 992	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eluz1 9484	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
4		ibar 299	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
5	3, 4	bitrd 187	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
6		3anass 977	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	5, 6	bitr4di 197	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
8	1, 2, 7	pm5.21nii 699	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  ‘cfv 5196   ≤ cle 7948  ℤcz 9205  ℤ_≥cuz 9480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-ov 5854  df-neg 8086  df-z 9206  df-uz 9481

This theorem is referenced by:  eluzuzle  9488  eluzelz  9489  eluzle  9492  uztrn  9496  eluzp1p1  9505  uznn0sub  9511  uz3m2nn  9525  1eluzge0  9526  2eluzge1  9528  raluz2  9531  rexuz2  9533  peano2uz  9535  nn0pzuz  9539  uzind4  9540  nn0ge2m1nnALT  9570  elfzuzb  9968  uzsubsubfz  9996  ige2m1fz  10059  4fvwrd4  10089  elfzo2  10099  elfzouz2  10110  fzossrbm1  10122  fzossfzop1  10161  ssfzo12bi  10174  elfzonelfzo  10179  elfzomelpfzo  10180  fzosplitprm1  10183  fzostep1  10186  fzind2  10188  flqword2  10238  fldiv4p1lem1div2  10254  uzennn  10385  seq3split  10428  iseqf1olemqk  10443  seq3f1olemqsumkj  10447  seq3f1olemqsumk  10448  seq3f1olemqsum  10449  bcval5  10690  seq3coll  10770  seq3shft  10795  resqrexlemoverl  10978  resqrexlemga  10980  fsum3cvg3  11352  fisumrev2  11402  isumshft  11446  cvgratnnlemseq  11482  cvgratnnlemabsle  11483  cvgratnnlemsumlt  11484  cvgratz  11488  oddge22np1  11833  nn0o  11859  suprzubdc  11900  zsupssdc  11902  uzwodc  11985  dvdsnprmd  12072  prmgt1  12079  oddprmgt2  12081  oddprmge3  12082  prm23ge5  12211  nninfdclemcl  12396  nninfdclemp1  12398  nninfdclemlt  12399  strleund  12499  strleun  12500  2logb9irr  13648  2logb9irrap  13654  lgsdilem2  13696