Theorem eluz2 9624

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9623	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp1 999	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eluz1 9622	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
4		ibar 301	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
5	3, 4	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
6		3anass 984	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
8	1, 2, 7	pm5.21nii 705	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259   ≤ cle 8079  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-neg 8217  df-z 9344  df-uz 9619

This theorem is referenced by:  eluzuzle  9626  eluzelz  9627  eluzle  9630  uztrn  9635  eluzp1p1  9644  uznn0sub  9650  uz3m2nn  9664  1eluzge0  9665  2eluzge1  9667  raluz2  9670  rexuz2  9672  peano2uz  9674  nn0pzuz  9678  uzind4  9679  nn0ge2m1nnALT  9709  elfzuzb  10111  uzsubsubfz  10139  ige2m1fz  10202  4fvwrd4  10232  elfzo2  10242  elfzouz2  10254  fzossrbm1  10266  fzossfzop1  10305  ssfzo12bi  10318  elfzonelfzo  10323  elfzomelpfzo  10324  fzosplitprm1  10327  fzostep1  10330  fzind2  10332  suprzubdc  10343  zsupssdc  10345  flqword2  10396  fldiv4p1lem1div2  10412  uzennn  10545  xnn0nnen  10546  seq3split  10597  iseqf1olemqk  10616  seq3f1olemqsumkj  10620  seq3f1olemqsumk  10621  seq3f1olemqsum  10622  bcval5  10872  seq3coll  10951  seq3shft  11020  resqrexlemoverl  11203  resqrexlemga  11205  fsum3cvg3  11578  fisumrev2  11628  isumshft  11672  cvgratnnlemseq  11708  cvgratnnlemabsle  11709  cvgratnnlemsumlt  11710  cvgratz  11714  oddge22np1  12063  nn0o  12089  bitsmod  12138  uzwodc  12229  dvdsnprmd  12318  prmgt1  12325  oddprmgt2  12327  oddprmge3  12328  prm23ge5  12458  nninfdclemcl  12690  nninfdclemp1  12692  nninfdclemlt  12693  strleund  12806  strleun  12807  gsumfzz  13197  gsumfzcl  13201  gsumfzreidx  13543  gsumfzsubmcl  13544  gsumfzmptfidmadd  13545  gsumfzmhm  13549  gsumfzfsum  14220  znidomb  14290  plyaddlem1  15067  2logb9irr  15291  2logb9irrap  15297  lgsdilem2  15361  gausslemma2dlem2  15387  gausslemma2dlem4  15389  gausslemma2dlem5  15391  gausslemma2dlem6  15392  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem3  15404  2lgslem1  15416