Theorem eluz2 9942

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9941	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp1 1028	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eluz1 9940	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
4		ibar 301	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
5	3, 4	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
6		3anass 1013	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
8	1, 2, 7	pm5.21nii 716	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380   ≤ cle 8367  ℤcz 9653  ℤ_≥cuz 9936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-neg 8507  df-z 9654  df-uz 9937

This theorem is used by:  eluzmn  9943  eluzuzle  9945  eluzelz  9946  eluzle  9949  uztrn  9954  eluzp1p1  9963  uznn0sub  9969  5eluz3  9976  uz3m2nn  9988  1eluzge0  9989  2eluzge1  9991  raluz2  9994  rexuz2  9996  peano2uz  9998  nn0pzuz  10002  uzind4  10003  nn0ge2m1nnALT  10033  elfzuzb  10438  uzsubsubfz  10468  ige2m1fz  10533  4fvwrd4  10563  elfzo2  10573  elfzouz2  10585  fzossrbm1  10598  fzossfzop1  10646  ssfzo12bi  10659  elfzonelfzo  10664  elfzomelpfzo  10665  fzosplitprm1  10669  fzostep1  10672  fzind2  10674  suprzubdc  10687  zsupssdc  10689  flqword2  10744  fldiv4p1lem1div2  10760  uzennn  10893  xnn0nnen  10894  seq3split  10945  iseqf1olemqk  10964  seq3f1olemqsumkj  10968  seq3f1olemqsumk  10969  seq3f1olemqsum  10970  bcval5  11222  seq3coll  11315  swrdsbslen  11459  swrdspsleq  11460  pfxtrcfv0  11487  pfxtrcfvl  11490  pfxccatin12lem2a  11520  seq3shft  11624  resqrexlemoverl  11808  resqrexlemga  11810  fsum3cvg3  12187  fisumrev2  12237  isumshft  12281  cvgratnnlemseq  12317  cvgratnnlemabsle  12318  cvgratnnlemsumlt  12319  cvgratz  12323  oddge22np1  12672  nn0o  12698  bitsmod  12747  uzwodc  12838  dvdsnprmd  12927  prmgt1  12935  oddprmgt2  12937  oddprmge3  12938  prm23ge5  13071  ballotfilemsdom  13312  ballotfilemsel1i  13313  ballotfilemfrceq  13329  nninfdclemcl  13396  nninfdclemp1  13398  nninfdclemlt  13399  strleund  13515  strleun  13516  gzsumcl  13862  gzsumreidx  14230  gzsumsubmcl  14231  gzsummhm  14234  gzsumsplit0  14237  gzsumshift  14238  gzsumgsum  14244  znidomb  15101  plyaddlem1  15990  2logb9irr  16224  2logb9irrap  16230  ppiqsval  16257  chtdif  16281  ppidif  16286  ppiublem1  16308  ppiqub  16310  chtqub  16313  bposlem4  16331  lgsdilem2  16377  gausslemma2dlem2  16403  gausslemma2dlem4  16405  gausslemma2dlem5  16407  gausslemma2dlem6  16408  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem3  16420  2lgslem1  16432  clwwlkext2edg  16885  trlsegvdeglem6  16928