Theorem eluz2 9761

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9760	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp1 1023	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eluz1 9759	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
4		ibar 301	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
5	3, 4	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
6		3anass 1008	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
8	1, 2, 7	pm5.21nii 711	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326   ≤ cle 8215  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-neg 8353  df-z 9480  df-uz 9756

This theorem is referenced by:  eluzmn  9762  eluzuzle  9764  eluzelz  9765  eluzle  9768  uztrn  9773  eluzp1p1  9782  uznn0sub  9788  5eluz3  9795  uz3m2nn  9807  1eluzge0  9808  2eluzge1  9810  raluz2  9813  rexuz2  9815  peano2uz  9817  nn0pzuz  9821  uzind4  9822  nn0ge2m1nnALT  9852  elfzuzb  10254  uzsubsubfz  10282  ige2m1fz  10345  4fvwrd4  10375  elfzo2  10385  elfzouz2  10397  fzossrbm1  10410  fzossfzop1  10458  ssfzo12bi  10471  elfzonelfzo  10476  elfzomelpfzo  10477  fzosplitprm1  10481  fzostep1  10484  fzind2  10486  suprzubdc  10497  zsupssdc  10499  flqword2  10550  fldiv4p1lem1div2  10566  uzennn  10699  xnn0nnen  10700  seq3split  10751  iseqf1olemqk  10770  seq3f1olemqsumkj  10774  seq3f1olemqsumk  10775  seq3f1olemqsum  10776  bcval5  11026  seq3coll  11107  swrdsbslen  11251  swrdspsleq  11252  pfxtrcfv0  11279  pfxtrcfvl  11282  pfxccatin12lem2a  11312  seq3shft  11403  resqrexlemoverl  11586  resqrexlemga  11588  fsum3cvg3  11962  fisumrev2  12012  isumshft  12056  cvgratnnlemseq  12092  cvgratnnlemabsle  12093  cvgratnnlemsumlt  12094  cvgratz  12098  oddge22np1  12447  nn0o  12473  bitsmod  12522  uzwodc  12613  dvdsnprmd  12702  prmgt1  12709  oddprmgt2  12711  oddprmge3  12712  prm23ge5  12842  nninfdclemcl  13074  nninfdclemp1  13076  nninfdclemlt  13077  strleund  13191  strleun  13192  gsumfzz  13583  gsumfzcl  13587  gsumfzreidx  13929  gsumfzsubmcl  13930  gsumfzmptfidmadd  13931  gsumfzmhm  13935  gsumsplit0  13938  gsumfzfsum  14608  znidomb  14678  plyaddlem1  15477  2logb9irr  15701  2logb9irrap  15707  lgsdilem2  15771  gausslemma2dlem2  15797  gausslemma2dlem4  15799  gausslemma2dlem5  15801  gausslemma2dlem6  15802  lgsquadlem1  15812  lgsquadlem3  15814  2lgslem1  15826  clwwlkext2edg  16279  trlsegvdeglem6  16322  gsumgfsumlem  16710  gsumgfsum  16711