Theorem eluz2 9653

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9652	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp1 999	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eluz1 9651	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
4		ibar 301	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
5	3, 4	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
6		3anass 984	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
8	1, 2, 7	pm5.21nii 705	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ‘cfv 5270   ≤ cle 8107  ℤcz 9371  ℤ_≥cuz 9647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-ov 5946  df-neg 8245  df-z 9372  df-uz 9648

This theorem is referenced by:  eluzuzle  9655  eluzelz  9656  eluzle  9659  uztrn  9664  eluzp1p1  9673  uznn0sub  9679  uz3m2nn  9693  1eluzge0  9694  2eluzge1  9696  raluz2  9699  rexuz2  9701  peano2uz  9703  nn0pzuz  9707  uzind4  9708  nn0ge2m1nnALT  9738  elfzuzb  10140  uzsubsubfz  10168  ige2m1fz  10231  4fvwrd4  10261  elfzo2  10271  elfzouz2  10283  fzossrbm1  10295  fzossfzop1  10339  ssfzo12bi  10352  elfzonelfzo  10357  elfzomelpfzo  10358  fzosplitprm1  10361  fzostep1  10364  fzind2  10366  suprzubdc  10377  zsupssdc  10379  flqword2  10430  fldiv4p1lem1div2  10446  uzennn  10579  xnn0nnen  10580  seq3split  10631  iseqf1olemqk  10650  seq3f1olemqsumkj  10654  seq3f1olemqsumk  10655  seq3f1olemqsum  10656  bcval5  10906  seq3coll  10985  seq3shft  11091  resqrexlemoverl  11274  resqrexlemga  11276  fsum3cvg3  11649  fisumrev2  11699  isumshft  11743  cvgratnnlemseq  11779  cvgratnnlemabsle  11780  cvgratnnlemsumlt  11781  cvgratz  11785  oddge22np1  12134  nn0o  12160  bitsmod  12209  uzwodc  12300  dvdsnprmd  12389  prmgt1  12396  oddprmgt2  12398  oddprmge3  12399  prm23ge5  12529  nninfdclemcl  12761  nninfdclemp1  12763  nninfdclemlt  12764  strleund  12877  strleun  12878  gsumfzz  13269  gsumfzcl  13273  gsumfzreidx  13615  gsumfzsubmcl  13616  gsumfzmptfidmadd  13617  gsumfzmhm  13621  gsumfzfsum  14292  znidomb  14362  plyaddlem1  15161  2logb9irr  15385  2logb9irrap  15391  lgsdilem2  15455  gausslemma2dlem2  15481  gausslemma2dlem4  15483  gausslemma2dlem5  15485  gausslemma2dlem6  15486  lgsquadlem1  15496  lgsquadlem3  15498  2lgslem1  15510