Theorem eluz2 9862

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9861	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp1 1024	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eluz1 9860	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
4		ibar 301	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
5	3, 4	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
6		3anass 1009	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
8	1, 2, 7	pm5.21nii 712	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354   ≤ cle 8311  ℤcz 9579  ℤ_≥cuz 9856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-ov 6055  df-neg 8449  df-z 9580  df-uz 9857

This theorem is referenced by:  eluzmn  9863  eluzuzle  9865  eluzelz  9866  eluzle  9869  uztrn  9874  eluzp1p1  9883  uznn0sub  9889  5eluz3  9896  uz3m2nn  9908  1eluzge0  9909  2eluzge1  9911  raluz2  9914  rexuz2  9916  peano2uz  9918  nn0pzuz  9922  uzind4  9923  nn0ge2m1nnALT  9953  elfzuzb  10356  uzsubsubfz  10384  ige2m1fz  10448  4fvwrd4  10478  elfzo2  10488  elfzouz2  10500  fzossrbm1  10513  fzossfzop1  10561  ssfzo12bi  10574  elfzonelfzo  10579  elfzomelpfzo  10580  fzosplitprm1  10584  fzostep1  10587  fzind2  10589  suprzubdc  10600  zsupssdc  10602  flqword2  10653  fldiv4p1lem1div2  10669  uzennn  10802  xnn0nnen  10803  seq3split  10854  iseqf1olemqk  10873  seq3f1olemqsumkj  10877  seq3f1olemqsumk  10878  seq3f1olemqsum  10879  bcval5  11129  seq3coll  11218  swrdsbslen  11362  swrdspsleq  11363  pfxtrcfv0  11390  pfxtrcfvl  11393  pfxccatin12lem2a  11423  seq3shft  11527  resqrexlemoverl  11710  resqrexlemga  11712  fsum3cvg3  12086  fisumrev2  12136  isumshft  12180  cvgratnnlemseq  12216  cvgratnnlemabsle  12217  cvgratnnlemsumlt  12218  cvgratz  12222  oddge22np1  12571  nn0o  12597  bitsmod  12646  uzwodc  12737  dvdsnprmd  12826  prmgt1  12833  oddprmgt2  12835  oddprmge3  12836  prm23ge5  12966  nninfdclemcl  13216  nninfdclemp1  13218  nninfdclemlt  13219  strleund  13333  strleun  13334  gsumfzz  13725  gsumfzcl  13729  gsumfzreidx  14071  gsumfzsubmcl  14072  gsumfzmptfidmadd  14073  gsumfzmhm  14077  gsumsplit0  14080  gsumfzfsum  14753  znidomb  14823  plyaddlem1  15629  2logb9irr  15853  2logb9irrap  15859  lgsdilem2  15926  gausslemma2dlem2  15952  gausslemma2dlem4  15954  gausslemma2dlem5  15956  gausslemma2dlem6  15957  lgsquadlem1  15967  lgsquadlem3  15969  2lgslem1  15981  clwwlkext2edg  16434  trlsegvdeglem6  16477  gsumgfsumlem  16882  gsumgfsum  16883