Theorem eluz2 9626

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9625	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp1 999	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eluz1 9624	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
4		ibar 301	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
5	3, 4	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
6		3anass 984	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
8	1, 2, 7	pm5.21nii 705	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259   ≤ cle 8081  ℤcz 9345  ℤ_≥cuz 9620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-neg 8219  df-z 9346  df-uz 9621

This theorem is referenced by:  eluzuzle  9628  eluzelz  9629  eluzle  9632  uztrn  9637  eluzp1p1  9646  uznn0sub  9652  uz3m2nn  9666  1eluzge0  9667  2eluzge1  9669  raluz2  9672  rexuz2  9674  peano2uz  9676  nn0pzuz  9680  uzind4  9681  nn0ge2m1nnALT  9711  elfzuzb  10113  uzsubsubfz  10141  ige2m1fz  10204  4fvwrd4  10234  elfzo2  10244  elfzouz2  10256  fzossrbm1  10268  fzossfzop1  10307  ssfzo12bi  10320  elfzonelfzo  10325  elfzomelpfzo  10326  fzosplitprm1  10329  fzostep1  10332  fzind2  10334  suprzubdc  10345  zsupssdc  10347  flqword2  10398  fldiv4p1lem1div2  10414  uzennn  10547  xnn0nnen  10548  seq3split  10599  iseqf1olemqk  10618  seq3f1olemqsumkj  10622  seq3f1olemqsumk  10623  seq3f1olemqsum  10624  bcval5  10874  seq3coll  10953  seq3shft  11022  resqrexlemoverl  11205  resqrexlemga  11207  fsum3cvg3  11580  fisumrev2  11630  isumshft  11674  cvgratnnlemseq  11710  cvgratnnlemabsle  11711  cvgratnnlemsumlt  11712  cvgratz  11716  oddge22np1  12065  nn0o  12091  bitsmod  12140  uzwodc  12231  dvdsnprmd  12320  prmgt1  12327  oddprmgt2  12329  oddprmge3  12330  prm23ge5  12460  nninfdclemcl  12692  nninfdclemp1  12694  nninfdclemlt  12695  strleund  12808  strleun  12809  gsumfzz  13199  gsumfzcl  13203  gsumfzreidx  13545  gsumfzsubmcl  13546  gsumfzmptfidmadd  13547  gsumfzmhm  13551  gsumfzfsum  14222  znidomb  14292  plyaddlem1  15091  2logb9irr  15315  2logb9irrap  15321  lgsdilem2  15385  gausslemma2dlem2  15411  gausslemma2dlem4  15413  gausslemma2dlem5  15415  gausslemma2dlem6  15416  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem3  15428  2lgslem1  15440