Theorem eluz2 9598

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9597	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp1 999	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eluz1 9596	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
4		ibar 301	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
5	3, 4	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
6		3anass 984	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
8	1, 2, 7	pm5.21nii 705	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254   ≤ cle 8055  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-neg 8193  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  eluzuzle  9600  eluzelz  9601  eluzle  9604  uztrn  9609  eluzp1p1  9618  uznn0sub  9624  uz3m2nn  9638  1eluzge0  9639  2eluzge1  9641  raluz2  9644  rexuz2  9646  peano2uz  9648  nn0pzuz  9652  uzind4  9653  nn0ge2m1nnALT  9683  elfzuzb  10085  uzsubsubfz  10113  ige2m1fz  10176  4fvwrd4  10206  elfzo2  10216  elfzouz2  10228  fzossrbm1  10240  fzossfzop1  10279  ssfzo12bi  10292  elfzonelfzo  10297  elfzomelpfzo  10298  fzosplitprm1  10301  fzostep1  10304  fzind2  10306  flqword2  10358  fldiv4p1lem1div2  10374  uzennn  10507  xnn0nnen  10508  seq3split  10559  iseqf1olemqk  10578  seq3f1olemqsumkj  10582  seq3f1olemqsumk  10583  seq3f1olemqsum  10584  bcval5  10834  seq3coll  10913  seq3shft  10982  resqrexlemoverl  11165  resqrexlemga  11167  fsum3cvg3  11539  fisumrev2  11589  isumshft  11633  cvgratnnlemseq  11669  cvgratnnlemabsle  11670  cvgratnnlemsumlt  11671  cvgratz  11675  oddge22np1  12022  nn0o  12048  suprzubdc  12089  zsupssdc  12091  uzwodc  12174  dvdsnprmd  12263  prmgt1  12270  oddprmgt2  12272  oddprmge3  12273  prm23ge5  12402  nninfdclemcl  12605  nninfdclemp1  12607  nninfdclemlt  12608  strleund  12721  strleun  12722  gsumfzz  13067  gsumfzcl  13071  gsumfzreidx  13407  gsumfzsubmcl  13408  gsumfzmptfidmadd  13409  gsumfzmhm  13413  cnfldstr  14049  gsumfzfsum  14076  znidomb  14146  plyaddlem1  14893  2logb9irr  15103  2logb9irrap  15109  lgsdilem2  15152  gausslemma2dlem2  15178  gausslemma2dlem4  15180  gausslemma2dlem5  15182  gausslemma2dlem6  15183  lgsquadlem1  15191