Theorem eluz2 9724

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9723	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp1 1021	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eluz1 9722	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
4		ibar 301	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
5	3, 4	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
6		3anass 1006	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	5, 6	bitr4di 198	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
8	1, 2, 7	pm5.21nii 709	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317   ≤ cle 8178  ℤcz 9442  ℤ_≥cuz 9718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-ov 6003  df-neg 8316  df-z 9443  df-uz 9719

This theorem is referenced by:  eluzuzle  9726  eluzelz  9727  eluzle  9730  uztrn  9735  eluzp1p1  9744  uznn0sub  9750  uz3m2nn  9764  1eluzge0  9765  2eluzge1  9767  raluz2  9770  rexuz2  9772  peano2uz  9774  nn0pzuz  9778  uzind4  9779  nn0ge2m1nnALT  9809  elfzuzb  10211  uzsubsubfz  10239  ige2m1fz  10302  4fvwrd4  10332  elfzo2  10342  elfzouz2  10354  fzossrbm1  10367  fzossfzop1  10413  ssfzo12bi  10426  elfzonelfzo  10431  elfzomelpfzo  10432  fzosplitprm1  10435  fzostep1  10438  fzind2  10440  suprzubdc  10451  zsupssdc  10453  flqword2  10504  fldiv4p1lem1div2  10520  uzennn  10653  xnn0nnen  10654  seq3split  10705  iseqf1olemqk  10724  seq3f1olemqsumkj  10728  seq3f1olemqsumk  10729  seq3f1olemqsum  10730  bcval5  10980  seq3coll  11059  swrdsbslen  11193  swrdspsleq  11194  pfxtrcfv0  11221  pfxtrcfvl  11224  pfxccatin12lem2a  11254  seq3shft  11344  resqrexlemoverl  11527  resqrexlemga  11529  fsum3cvg3  11902  fisumrev2  11952  isumshft  11996  cvgratnnlemseq  12032  cvgratnnlemabsle  12033  cvgratnnlemsumlt  12034  cvgratz  12038  oddge22np1  12387  nn0o  12413  bitsmod  12462  uzwodc  12553  dvdsnprmd  12642  prmgt1  12649  oddprmgt2  12651  oddprmge3  12652  prm23ge5  12782  nninfdclemcl  13014  nninfdclemp1  13016  nninfdclemlt  13017  strleund  13131  strleun  13132  gsumfzz  13523  gsumfzcl  13527  gsumfzreidx  13869  gsumfzsubmcl  13870  gsumfzmptfidmadd  13871  gsumfzmhm  13875  gsumfzfsum  14546  znidomb  14616  plyaddlem1  15415  2logb9irr  15639  2logb9irrap  15645  lgsdilem2  15709  gausslemma2dlem2  15735  gausslemma2dlem4  15737  gausslemma2dlem5  15739  gausslemma2dlem6  15740  lgsquadlem1  15750  lgsquadlem3  15752  2lgslem1  15764