ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluz2b1 GIF version

Theorem eluz2b1 9347
Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2." (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
eluz2b1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))

Proof of Theorem eluz2b1
StepHypRef Expression
1 2z 9036 . . 3 2 ∈ ℤ
21eluz1i 9285 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
3 1z 9034 . . . . 5 1 ∈ ℤ
4 zltp1le 9062 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
53, 4mpan 418 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
6 df-2 8739 . . . . 5 2 = (1 + 1)
76breq1i 3904 . . . 4 (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁)
85, 7syl6bbr 197 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁))
98pm5.32i 447 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
102, 9bitr4i 186 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104  wcel 1463   class class class wbr 3897  cfv 5091  (class class class)co 5740  1c1 7585   + caddc 7587   < clt 7764  cle 7765  2c2 8731  cz 9008  cuz 9278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-2 8739  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279
This theorem is referenced by:  eluz2gt1  9348  eluz2b2  9349  uz2m1nn  9351  uz2mulcl  9354  prmind2  11708  2prm  11715  3prm  11716  sqnprm  11723  exmidunben  11845
  Copyright terms: Public domain W3C validator