Theorem eluz2b1 9086

Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2." (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2b1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))

Proof of Theorem eluz2b1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 8776	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	eluz1i 9024	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
3		1z 8774	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zltp1le 8802	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
5	3, 4	mpan 415	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
6		df-2 8479	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
7	6	breq1i 3852	. . . 4 ⊢ (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁)
8	5, 7	syl6bbr 196	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁))
9	8	pm5.32i 442	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
10	2, 9	bitr4i 185	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))

Syntax hints:   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∈ wcel 1438   class class class wbr 3845  ‘cfv 5015  (class class class)co 5652  1c1 7349   + caddc 7351   < clt 7520   ≤ cle 7521  2c2 8471  ℤcz 8748  ℤ_≥cuz 9017

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-2 8479  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018

This theorem is referenced by:  eluz2gt1  9087  eluz2b2  9088  uz2m1nn  9090  uz2mulcl  9093  prmind2  11376  2prm  11383  3prm  11384  sqnprm  11391