Theorem hashsng 10746

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9252	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 6803	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfig 6804	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)
5		snfig 6804	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1} ∈ Fin)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
7		hashen 10732	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
8	4, 6, 7	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
9	3, 8	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
10		fzsn 10036	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
11	10	fveq2d 5511	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
12		1nn0 9165	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
13		hashfz1 10731	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
15	11, 14	eqtr3di 2223	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
16	1, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
17	9, 16	eqtrdi 2224	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  {csn 3589   class class class wbr 3998  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865   ≈ cen 6728  Fincfn 6730  1c1 7787  ℕ₀cn0 9149  ℤcz 9226  ...cfz 9979  ♯chash 10723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8893  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-fz 9980  df-ihash 10724

This theorem is referenced by:  fihashen1  10747  hashunsng  10755  hashprg  10756  hashdifsn  10767  fsumconst  11430  phicl2  12181  dfphi2  12187