Theorem hashsng 10707

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9213	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 6775	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 422	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfig 6776	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)
5		snfig 6776	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1} ∈ Fin)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
7		hashen 10693	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
8	4, 6, 7	sylancl 410	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
9	3, 8	mpbird 166	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
10		fzsn 9997	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
11	10	fveq2d 5489	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
12		1nn0 9126	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
13		hashfz1 10692	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
15	11, 14	eqtr3di 2213	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
16	1, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
17	9, 16	eqtrdi 2214	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {csn 3575   class class class wbr 3981  ‘cfv 5187  (class class class)co 5841   ≈ cen 6700  Fincfn 6702  1c1 7750  ℕ₀cn0 9110  ℤcz 9187  ...cfz 9940  ♯chash 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-recs 6269  df-frec 6355  df-1o 6380  df-er 6497  df-en 6703  df-dom 6704  df-fin 6705  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941  df-ihash 10685

This theorem is referenced by:  fihashen1  10708  hashunsng  10716  hashprg  10717  hashdifsn  10728  fsumconst  11391  phicl2  12142  dfphi2  12148