Theorem hashsng 10321

Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 8874	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		en2sn 6610	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
3	1, 2	mpan2 417	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4		snfig 6611	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)
5		snfig 6611	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → {1} ∈ Fin)
6	1, 5	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ {1} ∈ Fin
7		hashen 10307	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
8	4, 6, 7	sylancl 405	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
9	3, 8	mpbird 166	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = (♯‘{1}))
10		1nn0 8787	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		hashfz1 10306	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...1)) = 1)
12	10, 11	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (♯‘(1...1)) = 1
13		fzsn 9629	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
14	13	fveq2d 5344	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘(1...1)) = (♯‘{1}))
15	12, 14	syl5reqr 2142	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → (♯‘{1}) = 1)
16	1, 15	ax-mp 7	. 2 ⊢ (♯‘{1}) = 1
17	9, 16	syl6eq 2143	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  {csn 3466   class class class wbr 3867  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690   ≈ cen 6535  Fincfn 6537  1c1 7448  ℕ₀cn0 8771  ℤcz 8848  ...cfz 9573  ♯chash 10298

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-recs 6108  df-frec 6194  df-1o 6219  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-ihash 10299

This theorem is referenced by:  fihashen1  10322  hashunsng  10330  hashprg  10331  hashdifsn  10342  fsumconst  10997  phicl2  11617  dfphi2  11623