Theorem snfig 7097

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3773. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Proof of Theorem snfig

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6787	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
2		ensn1g 7078	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
3		breq2 4132	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1o → ({𝐴} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴} ≈ 1o))
4	3	rspcev 2929	. . 3 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ {𝐴} ≈ 1o) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
5	1, 2, 4	sylancr 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
6		isfi 7041	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
7	5, 6	sylibr 134	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  {csn 3708   class class class wbr 4128  ωcom 4735  1_oc1o 6674   ≈ cen 7014  Fincfn 7016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-1o 6681  df-en 7017  df-fin 7019

This theorem is referenced by:  fiprc  7098  ssfiexmid  7172  ssfiexmidt  7174  domfiexmid  7176  diffitest  7185  eqsndc  7204  unfiexmid  7219  prfidisj  7228  prfidceq  7229  tpfidisj  7230  mapfi  7255  snopfsuppdc  7293  ssfii  7302  infpwfidom  7544  hashsng  11220  fihashen1  11221  hashunsng  11231  hashprg  11232  hashdifsn  11243  hashdifpr  11244  hashxp  11250  hashmap  11251  hashfibclem  11265  hashtpgim  11280  fsumsplitsnun  12169  fsum2dlemstep  12184  fisumcom2  12188  fsumconst  12204  fsumge1  12211  fsum00  12212  hash2iun1dif1  12230  fprod2dlemstep  12372  fprodcom2fi  12376  fprodsplitsn  12383  fprodsplit1f  12384  phicl2  12975  gsumsncmn  14139  lgsquadlem2  16180  1loopgrvd2fi  16529  1loopgrvd0fi  16530  1hevtxdg0fi  16531  1hevtxdg1en  16532  p1evtxdeqfilem  16535  trlsegvdeglem7  16690