Theorem snfig 7055

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3753. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Proof of Theorem snfig

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6752	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
2		ensn1g 7036	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
3		breq2 4112	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1o → ({𝐴} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴} ≈ 1o))
4	3	rspcev 2920	. . 3 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ {𝐴} ≈ 1o) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
5	1, 2, 4	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
6		isfi 6999	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
7	5, 6	sylibr 134	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521  {csn 3688   class class class wbr 4108  ωcom 4711  1_oc1o 6639   ≈ cen 6972  Fincfn 6974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-1o 6646  df-en 6975  df-fin 6977

This theorem is referenced by:  fiprc  7056  ssfiexmid  7130  ssfiexmidt  7132  domfiexmid  7134  diffitest  7143  eqsndc  7162  unfiexmid  7177  prfidisj  7186  prfidceq  7187  tpfidisj  7188  mapfi  7213  snopfsuppdc  7251  ssfii  7260  infpwfidom  7500  hashsng  11159  fihashen1  11160  hashunsng  11170  hashprg  11171  hashdifsn  11182  hashdifpr  11183  hashxp  11189  hashfibclem  11202  hashtpgim  11213  fsumsplitsnun  12101  fsum2dlemstep  12116  fisumcom2  12120  fsumconst  12136  fsumge1  12143  fsum00  12144  hash2iun1dif1  12162  fprod2dlemstep  12304  fprodcom2fi  12308  fprodsplitsn  12315  fprodsplit1f  12316  phicl2  12907  lgsquadlem2  15943  1loopgrvd2fi  16292  1loopgrvd0fi  16293  1hevtxdg0fi  16294  1hevtxdg1en  16295  p1evtxdeqfilem  16298  trlsegvdeglem7  16453  gfsumsn  16858