ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snfig GIF version

Theorem snfig 6461
Description: A singleton is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
snfig (𝐴𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Proof of Theorem snfig
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1onn 6209 . . 3 1𝑜 ∈ ω
2 ensn1g 6444 . . 3 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
3 breq2 3815 . . . 4 (𝑥 = 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴} ≈ 1𝑜))
43rspcev 2712 . . 3 ((1𝑜 ∈ ω ∧ {𝐴} ≈ 1𝑜) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
51, 2, 4sylancr 405 . 2 (𝐴𝑉 → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
6 isfi 6408 . 2 ({𝐴} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
75, 6sylibr 132 1 (𝐴𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1434  wrex 2354  {csn 3422   class class class wbr 3811  ωcom 4368  1𝑜c1o 6106  cen 6385  Fincfn 6387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-1o 6113  df-en 6388  df-fin 6390
This theorem is referenced by:  fiprc  6462  ssfiexmid  6522  domfiexmid  6524  diffitest  6533  unfiexmid  6555  prfidisj  6564  infpwfidom  6727  hashsng  10041  fihashen1  10042  hashunsng  10050  hashprg  10051  hashdifsn  10062  hashdifpr  10063  hashxp  10069  phicl2  10970
  Copyright terms: Public domain W3C validator