Theorem snfig 7108

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3774. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Proof of Theorem snfig

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6797	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
2		ensn1g 7089	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
3		breq2 4135	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1o → ({𝐴} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴} ≈ 1o))
4	3	rspcev 2929	. . 3 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ {𝐴} ≈ 1o) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
5	1, 2, 4	sylancr 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
6		isfi 7052	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
7	5, 6	sylibr 134	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  {csn 3709   class class class wbr 4131  ωcom 4739  1_oc1o 6684   ≈ cen 7025  Fincfn 7027

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-1o 6691  df-en 7028  df-fin 7030

This theorem is used by:  fiprc  7109  ssfiexmid  7183  ssfiexmidt  7185  domfiexmid  7187  diffitest  7196  eqsndc  7215  unfiexmid  7230  prfidisj  7239  prfidceq  7240  tpfidisj  7241  mapfi  7266  snopfsuppdc  7305  ssfii  7314  infpwfidom  7557  hashsng  11260  fihashen1  11261  hashunsng  11271  hashprg  11272  hashdifsn  11283  hashdifpr  11284  hashxp  11290  hashmap  11291  hashfibclem  11305  hashtpgim  11320  fsumsplitsnun  12212  fsum2dlemstep  12227  fisumcom2  12231  fsumconst  12247  fsumge1  12254  fsum00  12255  hash2iun1dif1  12273  fprod2dlemstep  12415  fprodcom2fi  12419  fprodsplitsn  12426  fprodsplit1f  12427  phicl2  13022  gsumsncmn  14247  idjufi  14270  gsum2d2fi  14275  psrlidmfi  15204  psrridmfi  15205  lgsquadlem2  16414  1loopgrvd2fi  16763  1loopgrvd0fi  16764  1hevtxdg0fi  16765  1hevtxdg1en  16766  p1evtxdeqfilem  16769  trlsegvdeglem7  16924  wexmiddiffilem  17260  wexmiddifxy  17263