Theorem snfig 7069

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3759. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Proof of Theorem snfig

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6766	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
2		ensn1g 7050	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
3		breq2 4118	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1o → ({𝐴} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴} ≈ 1o))
4	3	rspcev 2923	. . 3 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ {𝐴} ≈ 1o) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
5	1, 2, 4	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
6		isfi 7013	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
7	5, 6	sylibr 134	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523  {csn 3694   class class class wbr 4114  ωcom 4717  1_oc1o 6653   ≈ cen 6986  Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-1o 6660  df-en 6989  df-fin 6991

This theorem is referenced by:  fiprc  7070  ssfiexmid  7144  ssfiexmidt  7146  domfiexmid  7148  diffitest  7157  eqsndc  7176  unfiexmid  7191  prfidisj  7200  prfidceq  7201  tpfidisj  7202  mapfi  7227  snopfsuppdc  7265  ssfii  7274  infpwfidom  7514  hashsng  11186  fihashen1  11187  hashunsng  11197  hashprg  11198  hashdifsn  11209  hashdifpr  11210  hashxp  11216  hashmap  11217  hashfibclem  11231  hashtpgim  11242  fsumsplitsnun  12130  fsum2dlemstep  12145  fisumcom2  12149  fsumconst  12165  fsumge1  12172  fsum00  12173  hash2iun1dif1  12191  fprod2dlemstep  12333  fprodcom2fi  12337  fprodsplitsn  12344  fprodsplit1f  12345  phicl2  12936  lgsquadlem2  16063  1loopgrvd2fi  16412  1loopgrvd0fi  16413  1hevtxdg0fi  16414  1hevtxdg1en  16415  p1evtxdeqfilem  16418  trlsegvdeglem7  16573  gfsumsn  16979