Theorem snfig 6980

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3731. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Proof of Theorem snfig

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6679	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
2		ensn1g 6962	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
3		breq2 4087	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1o → ({𝐴} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴} ≈ 1o))
4	3	rspcev 2907	. . 3 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ {𝐴} ≈ 1o) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
5	1, 2, 4	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
6		isfi 6925	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
7	5, 6	sylibr 134	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  {csn 3666   class class class wbr 4083  ωcom 4683  1_oc1o 6566   ≈ cen 6898  Fincfn 6900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-1o 6573  df-en 6901  df-fin 6903

This theorem is referenced by:  fiprc  6981  ssfiexmid  7051  domfiexmid  7053  diffitest  7062  eqsndc  7081  unfiexmid  7096  prfidisj  7105  prfidceq  7106  tpfidisj  7107  ssfii  7157  infpwfidom  7392  hashsng  11037  fihashen1  11038  hashunsng  11047  hashprg  11048  hashdifsn  11059  hashdifpr  11060  hashxp  11066  fsumsplitsnun  11951  fsum2dlemstep  11966  fisumcom2  11970  fsumconst  11986  fsumge1  11993  fsum00  11994  hash2iun1dif1  12012  fprod2dlemstep  12154  fprodcom2fi  12158  fprodsplitsn  12165  fprodsplit1f  12166  phicl2  12757  lgsquadlem2  15778