Theorem snfig 6989

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3734. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Proof of Theorem snfig

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6688	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
2		ensn1g 6971	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
3		breq2 4092	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1o → ({𝐴} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴} ≈ 1o))
4	3	rspcev 2910	. . 3 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ {𝐴} ≈ 1o) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
5	1, 2, 4	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
6		isfi 6934	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
7	5, 6	sylibr 134	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511  {csn 3669   class class class wbr 4088  ωcom 4688  1_oc1o 6575   ≈ cen 6907  Fincfn 6909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-1o 6582  df-en 6910  df-fin 6912

This theorem is referenced by:  fiprc  6990  ssfiexmid  7063  ssfiexmidt  7065  domfiexmid  7067  diffitest  7076  eqsndc  7095  unfiexmid  7110  prfidisj  7119  prfidceq  7120  tpfidisj  7121  ssfii  7173  infpwfidom  7409  hashsng  11061  fihashen1  11062  hashunsng  11072  hashprg  11073  hashdifsn  11084  hashdifpr  11085  hashxp  11091  hashtpgim  11110  fsumsplitsnun  11985  fsum2dlemstep  12000  fisumcom2  12004  fsumconst  12020  fsumge1  12027  fsum00  12028  hash2iun1dif1  12046  fprod2dlemstep  12188  fprodcom2fi  12192  fprodsplitsn  12199  fprodsplit1f  12200  phicl2  12791  lgsquadlem2  15813  1loopgrvd2fi  16162  1loopgrvd0fi  16163  1hevtxdg0fi  16164  1hevtxdg1en  16165  p1evtxdeqfilem  16168  trlsegvdeglem7  16323  gfsumsn  16711