Theorem snfig 6461

Description: A singleton is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Proof of Theorem snfig

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6209	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2		ensn1g 6444	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
3		breq2 3815	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴} ≈ 1𝑜))
4	3	rspcev 2712	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ∈ ω ∧ {𝐴} ≈ 1𝑜) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
5	1, 2, 4	sylancr 405	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
6		isfi 6408	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
7	5, 6	sylibr 132	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1434  ∃wrex 2354  {csn 3422   class class class wbr 3811  ωcom 4368  1_𝑜c1o 6106   ≈ cen 6385  Fincfn 6387

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-1o 6113  df-en 6388  df-fin 6390

This theorem is referenced by:  fiprc  6462  ssfiexmid  6522  domfiexmid  6524  diffitest  6533  unfiexmid  6555  prfidisj  6564  infpwfidom  6727  hashsng  10041  fihashen1  10042  hashunsng  10050  hashprg  10051  hashdifsn  10062  hashdifpr  10063  hashxp  10069  phicl2  10970