Theorem snfig 7103

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3774. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Proof of Theorem snfig

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6793	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
2		ensn1g 7084	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
3		breq2 4134	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1o → ({𝐴} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴} ≈ 1o))
4	3	rspcev 2929	. . 3 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ {𝐴} ≈ 1o) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
5	1, 2, 4	sylancr 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
6		isfi 7047	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
7	5, 6	sylibr 134	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  {csn 3709   class class class wbr 4130  ωcom 4737  1_oc1o 6680   ≈ cen 7020  Fincfn 7022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-1o 6687  df-en 7023  df-fin 7025

This theorem is used by:  fiprc  7104  ssfiexmid  7178  ssfiexmidt  7180  domfiexmid  7182  diffitest  7191  eqsndc  7210  unfiexmid  7225  prfidisj  7234  prfidceq  7235  tpfidisj  7236  mapfi  7261  snopfsuppdc  7299  ssfii  7308  infpwfidom  7551  hashsng  11252  fihashen1  11253  hashunsng  11263  hashprg  11264  hashdifsn  11275  hashdifpr  11276  hashxp  11282  hashmap  11283  hashfibclem  11297  hashtpgim  11312  fsumsplitsnun  12204  fsum2dlemstep  12219  fisumcom2  12223  fsumconst  12239  fsumge1  12246  fsum00  12247  hash2iun1dif1  12265  fprod2dlemstep  12407  fprodcom2fi  12411  fprodsplitsn  12418  fprodsplit1f  12419  phicl2  13014  gsumsncmn  14207  lgsquadlem2  16319  1loopgrvd2fi  16668  1loopgrvd0fi  16669  1hevtxdg0fi  16670  1hevtxdg1en  16671  p1evtxdeqfilem  16674  trlsegvdeglem7  16829  wexmiddiffilem  17165  wexmiddifxy  17168