ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snfig GIF version

Theorem snfig 6714
Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3594. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
snfig (𝐴𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Proof of Theorem snfig
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1onn 6422 . . 3 1o ∈ ω
2 ensn1g 6697 . . 3 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
3 breq2 3939 . . . 4 (𝑥 = 1o → ({𝐴} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴} ≈ 1o))
43rspcev 2792 . . 3 ((1o ∈ ω ∧ {𝐴} ≈ 1o) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
51, 2, 4sylancr 411 . 2 (𝐴𝑉 → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
6 isfi 6661 . 2 ({𝐴} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
75, 6sylibr 133 1 (𝐴𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1481  wrex 2418  {csn 3530   class class class wbr 3935  ωcom 4510  1oc1o 6312  cen 6638  Fincfn 6640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-nul 4060  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-nul 3367  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-br 3936  df-opab 3996  df-id 4221  df-suc 4299  df-iom 4511  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-f1 5134  df-fo 5135  df-f1o 5136  df-1o 6319  df-en 6641  df-fin 6643
This theorem is referenced by:  fiprc  6715  ssfiexmid  6776  domfiexmid  6778  diffitest  6787  unfiexmid  6812  prfidisj  6821  tpfidisj  6822  ssfii  6868  infpwfidom  7069  hashsng  10574  fihashen1  10575  hashunsng  10583  hashprg  10584  hashdifsn  10595  hashdifpr  10596  hashxp  10602  fsumsplitsnun  11218  fsum2dlemstep  11233  fisumcom2  11237  fsumconst  11253  fsumge1  11260  fsum00  11261  hash2iun1dif1  11279  phicl2  11919
  Copyright terms: Public domain W3C validator