Theorem snfig 6877

Description: A singleton is finite. For the proper class case, see snprc 3688. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
snfig	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Proof of Theorem snfig

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6582	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
2		ensn1g 6860	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1o)
3		breq2 4038	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1o → ({𝐴} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴} ≈ 1o))
4	3	rspcev 2868	. . 3 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ {𝐴} ≈ 1o) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
5	1, 2, 4	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
6		isfi 6824	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
7	5, 6	sylibr 134	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  {csn 3623   class class class wbr 4034  ωcom 4627  1_oc1o 6471   ≈ cen 6801  Fincfn 6803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-1o 6478  df-en 6804  df-fin 6806

This theorem is referenced by:  fiprc  6878  ssfiexmid  6941  domfiexmid  6943  diffitest  6952  unfiexmid  6983  prfidisj  6992  prfidceq  6993  tpfidisj  6994  ssfii  7044  infpwfidom  7270  hashsng  10895  fihashen1  10896  hashunsng  10904  hashprg  10905  hashdifsn  10916  hashdifpr  10917  hashxp  10923  fsumsplitsnun  11589  fsum2dlemstep  11604  fisumcom2  11608  fsumconst  11624  fsumge1  11631  fsum00  11632  hash2iun1dif1  11650  fprod2dlemstep  11792  fprodcom2fi  11796  fprodsplitsn  11803  fprodsplit1f  11804  phicl2  12395  lgsquadlem2  15366