ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0supp GIF version

Theorem nn0supp 9204
Description: Two ways to write the support of a function on 0. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0supp (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ (V ∖ {0})) = (𝐹 “ ℕ))

Proof of Theorem nn0supp
StepHypRef Expression
1 dfn2 9165 . . . 4 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2 invdif 3377 . . . 4 (ℕ0 ∩ (V ∖ {0})) = (ℕ0 ∖ {0})
31, 2eqtr4i 2201 . . 3 ℕ = (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))
43imaeq2i 4963 . 2 (𝐹 “ ℕ) = (𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0})))
5 ffun 5363 . . . 4 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → Fun 𝐹)
6 inpreima 5637 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = ((𝐹 “ ℕ0) ∩ (𝐹 “ (V ∖ {0}))))
75, 6syl 14 . . 3 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = ((𝐹 “ ℕ0) ∩ (𝐹 “ (V ∖ {0}))))
8 cnvimass 4986 . . . . 5 (𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ dom 𝐹
9 fdm 5366 . . . . . 6 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → dom 𝐹 = 𝐼)
10 fimacnv 5640 . . . . . 6 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ ℕ0) = 𝐼)
119, 10eqtr4d 2213 . . . . 5 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → dom 𝐹 = (𝐹 “ ℕ0))
128, 11sseqtrid 3205 . . . 4 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐹 “ ℕ0))
13 sseqin2 3354 . . . 4 ((𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐹 “ ℕ0) ↔ ((𝐹 “ ℕ0) ∩ (𝐹 “ (V ∖ {0}))) = (𝐹 “ (V ∖ {0})))
1412, 13sylib 122 . . 3 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → ((𝐹 “ ℕ0) ∩ (𝐹 “ (V ∖ {0}))) = (𝐹 “ (V ∖ {0})))
157, 14eqtrd 2210 . 2 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = (𝐹 “ (V ∖ {0})))
164, 15eqtr2id 2223 1 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ (V ∖ {0})) = (𝐹 “ ℕ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  Vcvv 2737  cdif 3126  cin 3128  wss 3129  {csn 3591  ccnv 4621  dom cdm 4622  cima 4625  Fun wfun 5205  wf 5207  0cc0 7789  cn 8895  0cn0 9152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-ov 5871  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-inn 8896  df-n0 9153
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator