Theorem nn0supp 9598

Description: Two ways to write the support of a function on ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0supp	⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) = (◡𝐹 “ ℕ))

Proof of Theorem nn0supp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 9555	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2		invdif 3473	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0})) = (ℕ0 ∖ {0})
3	1, 2	eqtr4i 2262	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))
4	3	imaeq2i 5119	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ ℕ) = (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0})))
5		ffun 5531	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → Fun 𝐹)
6		inpreima 5825	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))))
8		cnvimass 5145	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ dom 𝐹
9		fdm 5534	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → dom 𝐹 = 𝐼)
10		fimacnv 5828	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ ℕ0) = 𝐼)
11	9, 10	eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → dom 𝐹 = (◡𝐹 “ ℕ0))
12	8, 11	sseqtrid 3298	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ0))
13		sseqin2 3450	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ0) ↔ ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))) = (◡𝐹 “ (V ∖ {0})))
14	12, 13	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))) = (◡𝐹 “ (V ∖ {0})))
15	7, 14	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = (◡𝐹 “ (V ∖ {0})))
16	4, 15	eqtr2id 2284	1 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) = (◡𝐹 “ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  {csn 3705  ^◡ccnv 4768  dom cdm 4769   “ cima 4772  Fun wfun 5366  ⟶wf 5368  0cc0 8169  ℕcn 9283  ℕ₀cn0 9542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-inn 9284  df-n0 9543

This theorem is referenced by: (None)