Theorem nn0supp 9329

Description: Two ways to write the support of a function on ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0supp	⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) = (◡𝐹 “ ℕ))

Proof of Theorem nn0supp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 9290	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2		invdif 3414	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0})) = (ℕ0 ∖ {0})
3	1, 2	eqtr4i 2228	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))
4	3	imaeq2i 5017	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ ℕ) = (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0})))
5		ffun 5422	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → Fun 𝐹)
6		inpreima 5700	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))))
8		cnvimass 5042	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ dom 𝐹
9		fdm 5425	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → dom 𝐹 = 𝐼)
10		fimacnv 5703	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ ℕ0) = 𝐼)
11	9, 10	eqtr4d 2240	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → dom 𝐹 = (◡𝐹 “ ℕ0))
12	8, 11	sseqtrid 3242	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ0))
13		sseqin2 3391	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ0) ↔ ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))) = (◡𝐹 “ (V ∖ {0})))
14	12, 13	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))) = (◡𝐹 “ (V ∖ {0})))
15	7, 14	eqtrd 2237	. 2 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = (◡𝐹 “ (V ∖ {0})))
16	4, 15	eqtr2id 2250	1 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) = (◡𝐹 “ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372  Vcvv 2771   ∖ cdif 3162   ∩ cin 3164   ⊆ wss 3165  {csn 3632  ^◡ccnv 4672  dom cdm 4673   “ cima 4676  Fun wfun 5262  ⟶wf 5264  0cc0 7907  ℕcn 9018  ℕ₀cn0 9277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1re 8001  ax-addrcl 8004  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-fv 5276  df-ov 5937  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-inn 9019  df-n0 9278

This theorem is referenced by: (None)