Theorem nn0supp 9187

Description: Two ways to write the support of a function on ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0supp	⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) = (◡𝐹 “ ℕ))

Proof of Theorem nn0supp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 9148	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2		invdif 3369	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0})) = (ℕ0 ∖ {0})
3	1, 2	eqtr4i 2194	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))
4	3	imaeq2i 4951	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ ℕ) = (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0})))
5		ffun 5350	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → Fun 𝐹)
6		inpreima 5622	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))))
8		cnvimass 4974	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ dom 𝐹
9		fdm 5353	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → dom 𝐹 = 𝐼)
10		fimacnv 5625	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ ℕ0) = 𝐼)
11	9, 10	eqtr4d 2206	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → dom 𝐹 = (◡𝐹 “ ℕ0))
12	8, 11	sseqtrid 3197	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ0))
13		sseqin2 3346	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ0) ↔ ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))) = (◡𝐹 “ (V ∖ {0})))
14	12, 13	sylib 121	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))) = (◡𝐹 “ (V ∖ {0})))
15	7, 14	eqtrd 2203	. 2 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = (◡𝐹 “ (V ∖ {0})))
16	4, 15	eqtr2id 2216	1 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) = (◡𝐹 “ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348  Vcvv 2730   ∖ cdif 3118   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121  {csn 3583  ^◡ccnv 4610  dom cdm 4611   “ cima 4614  Fun wfun 5192  ⟶wf 5194  0cc0 7774  ℕcn 8878  ℕ₀cn0 9135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-inn 8879  df-n0 9136

This theorem is referenced by: (None)