Theorem nn0supp 9295

Description: Two ways to write the support of a function on ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0supp	⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) = (◡𝐹 “ ℕ))

Proof of Theorem nn0supp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 9256	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2		invdif 3402	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0})) = (ℕ0 ∖ {0})
3	1, 2	eqtr4i 2217	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))
4	3	imaeq2i 5004	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ ℕ) = (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0})))
5		ffun 5407	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → Fun 𝐹)
6		inpreima 5685	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))))
8		cnvimass 5029	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ dom 𝐹
9		fdm 5410	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → dom 𝐹 = 𝐼)
10		fimacnv 5688	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ ℕ0) = 𝐼)
11	9, 10	eqtr4d 2229	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → dom 𝐹 = (◡𝐹 “ ℕ0))
12	8, 11	sseqtrid 3230	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ0))
13		sseqin2 3379	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ0) ↔ ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))) = (◡𝐹 “ (V ∖ {0})))
14	12, 13	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))) = (◡𝐹 “ (V ∖ {0})))
15	7, 14	eqtrd 2226	. 2 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = (◡𝐹 “ (V ∖ {0})))
16	4, 15	eqtr2id 2239	1 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) = (◡𝐹 “ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364  Vcvv 2760   ∖ cdif 3151   ∩ cin 3153   ⊆ wss 3154  {csn 3619  ^◡ccnv 4659  dom cdm 4660   “ cima 4663  Fun wfun 5249  ⟶wf 5251  0cc0 7874  ℕcn 8984  ℕ₀cn0 9243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-inn 8985  df-n0 9244

This theorem is referenced by: (None)