Theorem nn0supp 9157

Description: Two ways to write the support of a function on ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0supp	⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) = (◡𝐹 “ ℕ))

Proof of Theorem nn0supp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 9118	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2		invdif 3359	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0})) = (ℕ0 ∖ {0})
3	1, 2	eqtr4i 2188	. . 3 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))
4	3	imaeq2i 4938	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ ℕ) = (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0})))
5		ffun 5334	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → Fun 𝐹)
6		inpreima 5605	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))))
8		cnvimass 4961	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ dom 𝐹
9		fdm 5337	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → dom 𝐹 = 𝐼)
10		fimacnv 5608	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ ℕ0) = 𝐼)
11	9, 10	eqtr4d 2200	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → dom 𝐹 = (◡𝐹 “ ℕ0))
12	8, 11	sseqtrid 3187	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ0))
13		sseqin2 3336	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℕ0) ↔ ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))) = (◡𝐹 “ (V ∖ {0})))
14	12, 13	sylib 121	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → ((◡𝐹 “ ℕ0) ∩ (◡𝐹 “ (V ∖ {0}))) = (◡𝐹 “ (V ∖ {0})))
15	7, 14	eqtrd 2197	. 2 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = (◡𝐹 “ (V ∖ {0})))
16	4, 15	eqtr2id 2210	1 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (◡𝐹 “ (V ∖ {0})) = (◡𝐹 “ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1342  Vcvv 2721   ∖ cdif 3108   ∩ cin 3110   ⊆ wss 3111  {csn 3570  ^◡ccnv 4597  dom cdm 4598   “ cima 4601  Fun wfun 5176  ⟶wf 5178  0cc0 7744  ℕcn 8848  ℕ₀cn0 9105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1re 7838  ax-addrcl 7841  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-ov 5839  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-inn 8849  df-n0 9106

This theorem is referenced by: (None)