Theorem fnn0nninf 10877

Description: A function from ℕ₀ into ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))

Assertion

Ref	Expression
fnn0nninf	⊢ (𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞

Distinct variable group:   𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑖, 𝑛)   𝐺(𝑥, 𝑖, 𝑛)

Proof of Theorem fnn0nninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
2		nnnninf 7466	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
3	1, 2	fmpti 5860	. 2 ⊢ 𝐹:ω⟶ℕ∞
4		fxnn0nninf.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
5	4	frechashgf1o 10867	. . 3 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
6		f1ocnv 5652	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω)
7		f1of 5639	. . 3 ⊢ (◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝐺:ℕ0⟶ω)
8	5, 6, 7	mp2b 8	. 2 ⊢ ◡𝐺:ℕ0⟶ω
9		fco 5552	. 2 ⊢ ((𝐹:ω⟶ℕ∞ ∧ ◡𝐺:ℕ0⟶ω) → (𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞)
10	3, 8, 9	mp2an 430	1 ⊢ (𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402  ∅c0 3520  ifcif 3638   ↦ cmpt 4192  ωcom 4737  ^◡ccnv 4773   ∘ ccom 4778  ⟶wf 5373  –1-1-onto→wf1o 5376  (class class class)co 6085  freccfrec 6661  1_oc1o 6680  ℕ_∞xnninf 7459  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182  ℕ₀cn0 9565  ℤcz 9646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-map 6924  df-nninf 7460  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924

This theorem is used by:  fxnn0nninf  10878  inftonninf  10881