ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnn0nninf GIF version

Theorem fnn0nninf 10410
Description: A function from 0 into . (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))
Assertion
Ref Expression
fnn0nninf (𝐹𝐺):ℕ0⟶ℕ
Distinct variable group:   𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem fnn0nninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.f . . 3 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))
2 nnnninf 7117 . . 3 (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
31, 2fmpti 5663 . 2 𝐹:ω⟶ℕ
4 fxnn0nninf.g . . . 4 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
54frechashgf1o 10401 . . 3 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
6 f1ocnv 5469 . . 3 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0𝐺:ℕ01-1-onto→ω)
7 f1of 5456 . . 3 (𝐺:ℕ01-1-onto→ω → 𝐺:ℕ0⟶ω)
85, 6, 7mp2b 8 . 2 𝐺:ℕ0⟶ω
9 fco 5376 . 2 ((𝐹:ω⟶ℕ𝐺:ℕ0⟶ω) → (𝐹𝐺):ℕ0⟶ℕ)
103, 8, 9mp2an 426 1 (𝐹𝐺):ℕ0⟶ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1353  c0 3422  ifcif 3534  cmpt 4061  ωcom 4585  ccnv 4621  ccom 4626  wf 5207  1-1-ontowf1o 5210  (class class class)co 5868  freccfrec 6384  1oc1o 6403  xnninf 7111  0cc0 7789  1c1 7790   + caddc 7792  0cn0 9152  cz 9229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-recs 6299  df-frec 6385  df-1o 6410  df-2o 6411  df-map 6643  df-nninf 7112  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505
This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  10411  inftonninf  10414
  Copyright terms: Public domain W3C validator