Theorem fnn0nninf 10439

Description: A function from ℕ₀ into ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))

Assertion

Ref	Expression
fnn0nninf	⊢ (𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞

Distinct variable group:   𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem fnn0nninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
2		nnnninf 7126	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
3	1, 2	fmpti 5670	. 2 ⊢ 𝐹:ω⟶ℕ∞
4		fxnn0nninf.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
5	4	frechashgf1o 10430	. . 3 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
6		f1ocnv 5476	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω)
7		f1of 5463	. . 3 ⊢ (◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝐺:ℕ0⟶ω)
8	5, 6, 7	mp2b 8	. 2 ⊢ ◡𝐺:ℕ0⟶ω
9		fco 5383	. 2 ⊢ ((𝐹:ω⟶ℕ∞ ∧ ◡𝐺:ℕ0⟶ω) → (𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞)
10	3, 8, 9	mp2an 426	1 ⊢ (𝐹 ∘ ◡𝐺):ℕ0⟶ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1353  ∅c0 3424  ifcif 3536   ↦ cmpt 4066  ωcom 4591  ^◡ccnv 4627   ∘ ccom 4632  ⟶wf 5214  –1-1-onto→wf1o 5217  (class class class)co 5877  freccfrec 6393  1_oc1o 6412  ℕ_∞xnninf 7120  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816  ℕ₀cn0 9178  ℤcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-map 6652  df-nninf 7121  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531

This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  10440  inftonninf  10443