Theorem ge0p1rpd 9967

Description: A nonnegative number plus one is a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ge0p1rp.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ge0p1rpd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem ge0p1rpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ge0p1rp.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ge0p1rp 9925	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  ℝcr 8036  0cc0 8037  1c1 8038   + caddc 8040   ≤ cle 8220  ℝ⁺crp 9893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-xp 4733  df-cnv 4735  df-iota 5288  df-fv 5336  df-ov 6026  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-rp 9894

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  12114  cvgratnn  12115  mertenslemi1  12119  mertenslem2  12120