ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnnlemrate GIF version

Theorem cvgratnnlemrate 11538
Description: Lemma for cvgratnn 11539. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐴)
cvgratnn.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
cvgratnn.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (𝐴 Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
cvgratnnlemrate.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
cvgratnnlemrate.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemrate (πœ‘ β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜π‘) βˆ’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘€))) < (((((1 / ((1 / 𝐴) βˆ’ 1)) / 𝐴) Β· ((absβ€˜(πΉβ€˜1)) + 1)) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐴))) / 𝑀))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀

Proof of Theorem cvgratnnlemrate
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9563 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 9280 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 cvgratnn.6 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
41, 2, 3serf 10474 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„‚)
5 cvgratnnlemrate.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
6 cvgratnnlemrate.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7 eluznn 9600 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
85, 6, 7syl2anc 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
94, 8ffvelcdmd 5653 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
104, 5ffvelcdmd 5653 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
119, 10subcld 8268 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((seq1( + , 𝐹)β€˜π‘) βˆ’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘€)) ∈ β„‚)
1211abscld 11190 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜π‘) βˆ’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘€))) ∈ ℝ)
13 fveq2 5516 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘€))
1413eleq1d 2246 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ (πΉβ€˜π‘€) ∈ β„‚))
153ralrimiva 2550 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1614, 15, 5rspcdva 2847 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
1716abscld 11190 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
185nnzd 9374 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1918peano2zd 9378 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„€)
20 eluzelz 9537 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
216, 20syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2219, 21fzfigd 10431 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
23 cvgratnn.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2423adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
255nnred 8932 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
2625adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
27 peano2re 8093 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
2826, 27syl 14 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
29 elfzelz 10025 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
3029adantl 277 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
3130zred 9375 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
3226lep1d 8888 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 + 1))
33 elfzle1 10027 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) β†’ (𝑀 + 1) ≀ 𝑖)
3433adantl 277 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) β†’ (𝑀 + 1) ≀ 𝑖)
3526, 28, 31, 32, 34letrd 8081 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) β†’ 𝑀 ≀ 𝑖)
36 znn0sub 9318 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ (𝑀 ≀ 𝑖 ↔ (𝑖 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0))
3718, 29, 36syl2an 289 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) β†’ (𝑀 ≀ 𝑖 ↔ (𝑖 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0))
3835, 37mpbid 147 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) β†’ (𝑖 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0)
3924, 38reexpcld 10671 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) β†’ (𝐴↑(𝑖 βˆ’ 𝑀)) ∈ ℝ)
4022, 39fsumrecl 11409 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 βˆ’ 𝑀)) ∈ ℝ)
4117, 40remulcld 7988 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 βˆ’ 𝑀))) ∈ ℝ)
42 cvgratnn.4 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 1)
43 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐴)
4423, 43elrpd 9693 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
4544reclt1d 9710 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))
4642, 45mpbid 147 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 < (1 / 𝐴))
47 1re 7956 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
4844rprecred 9708 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
49 difrp 9692 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) β†’ (1 < (1 / 𝐴) ↔ ((1 / 𝐴) βˆ’ 1) ∈ ℝ+))
5047, 48, 49sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 < (1 / 𝐴) ↔ ((1 / 𝐴) βˆ’ 1) ∈ ℝ+))
5146, 50mpbid 147 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝐴) βˆ’ 1) ∈ ℝ+)
5251rpreccld 9707 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 / ((1 / 𝐴) βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
5352, 44rpdivcld 9714 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((1 / ((1 / 𝐴) βˆ’ 1)) / 𝐴) ∈ ℝ+)
54 fveq2 5516 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜1))
5554eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ (πΉβ€˜1) ∈ β„‚))
56 1nn 8930 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•
5756a1i 9 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
5855, 15, 57rspcdva 2847 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) ∈ β„‚)
5958abscld 11190 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ℝ)
6058absge0d 11193 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜1)))
6159, 60ge0p1rpd 9727 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜1)) + 1) ∈ ℝ+)
6253, 61rpmulcld 9713 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((1 / ((1 / 𝐴) βˆ’ 1)) / 𝐴) Β· ((absβ€˜(πΉβ€˜1)) + 1)) ∈ ℝ+)
6362rpred 9696 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((1 / ((1 / 𝐴) βˆ’ 1)) / 𝐴) Β· ((absβ€˜(πΉβ€˜1)) + 1)) ∈ ℝ)
6463, 5nndivred 8969 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((1 / ((1 / 𝐴) βˆ’ 1)) / 𝐴) Β· ((absβ€˜(πΉβ€˜1)) + 1)) / 𝑀) ∈ ℝ)
65 1red 7972 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
6665, 23resubcld 8338 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
6723, 65posdifd 8489 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 1 ↔ 0 < (1 βˆ’ 𝐴)))
6842, 67mpbid 147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < (1 βˆ’ 𝐴))
6966, 68elrpd 9693 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+)
7044, 69rpdivcld 9714 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ+)
7170rpred 9696 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
7264, 71remulcld 7988 . . 3 (πœ‘ β†’ (((((1 / ((1 / 𝐴) βˆ’ 1)) / 𝐴) Β· ((absβ€˜(πΉβ€˜1)) + 1)) / 𝑀) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐴))) ∈ ℝ)
73 cvgratnn.7 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (𝐴 Β· (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
7423, 42, 43, 3, 73, 5, 6cvgratnnlemseq 11534 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((seq1( + , 𝐹)β€˜π‘) βˆ’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘€)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(πΉβ€˜π‘–))
7574fveq2d 5520 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜π‘) βˆ’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘€))) = (absβ€˜Ξ£π‘– ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(πΉβ€˜π‘–)))
7623, 42, 43, 3, 73, 5, 6cvgratnnlemabsle 11535 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘– ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(πΉβ€˜π‘–)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 βˆ’ 𝑀))))
7775, 76eqbrtrd 4026 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜π‘) βˆ’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘€))) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 βˆ’ 𝑀))))
7816absge0d 11193 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘€)))
7923, 42, 43, 3, 73, 5cvgratnnlemfm 11537 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) < ((((1 / ((1 / 𝐴) βˆ’ 1)) / 𝐴) Β· ((absβ€˜(πΉβ€˜1)) + 1)) / 𝑀))
8044adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
8138nn0zd 9373 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) β†’ (𝑖 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€)
8280, 81rpexpcld 10678 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) β†’ (𝐴↑(𝑖 βˆ’ 𝑀)) ∈ ℝ+)
8382rpge0d 9700 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) β†’ 0 ≀ (𝐴↑(𝑖 βˆ’ 𝑀)))
8422, 39, 83fsumge0 11467 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 βˆ’ 𝑀)))
8523, 42, 43, 3, 73, 5, 6cvgratnnlemsumlt 11536 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 βˆ’ 𝑀)) < (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐴)))
8617, 64, 40, 71, 78, 79, 84, 85ltmul12ad 8898 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘€)) Β· Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖 βˆ’ 𝑀))) < (((((1 / ((1 / 𝐴) βˆ’ 1)) / 𝐴) Β· ((absβ€˜(πΉβ€˜1)) + 1)) / 𝑀) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐴))))
8712, 41, 72, 77, 86lelttrd 8082 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜π‘) βˆ’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘€))) < (((((1 / ((1 / 𝐴) βˆ’ 1)) / 𝐴) Β· ((absβ€˜(πΉβ€˜1)) + 1)) / 𝑀) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐴))))
8863recnd 7986 . . 3 (πœ‘ β†’ (((1 / ((1 / 𝐴) βˆ’ 1)) / 𝐴) Β· ((absβ€˜(πΉβ€˜1)) + 1)) ∈ β„‚)
8971recnd 7986 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐴)) ∈ β„‚)
905nncnd 8933 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
915nnap0d 8965 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 # 0)
9288, 89, 90, 91div23apd 8785 . 2 (πœ‘ β†’ (((((1 / ((1 / 𝐴) βˆ’ 1)) / 𝐴) Β· ((absβ€˜(πΉβ€˜1)) + 1)) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐴))) / 𝑀) = (((((1 / ((1 / 𝐴) βˆ’ 1)) / 𝐴) Β· ((absβ€˜(πΉβ€˜1)) + 1)) / 𝑀) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐴))))
9387, 92breqtrrd 4032 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜π‘) βˆ’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘€))) < (((((1 / ((1 / 𝐴) βˆ’ 1)) / 𝐴) Β· ((absβ€˜(πΉβ€˜1)) + 1)) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐴))) / 𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  β„‚cc 7809  β„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   Β· cmul 7816   < clt 7992   ≀ cle 7993   βˆ’ cmin 8128   / cdiv 8629  β„•cn 8919  β„•0cn0 9176  β„€cz 9253  β„€β‰₯cuz 9528  β„+crp 9653  ...cfz 10008  seqcseq 10445  β†‘cexp 10519  abscabs 11006  Ξ£csu 11361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-ico 9894  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362
This theorem is referenced by:  cvgratnn  11539
  Copyright terms: Public domain W3C validator