Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnnlemrate GIF version

Theorem cvgratnnlemrate 10987
 Description: Lemma for cvgratnn 10988. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
cvgratnnlemrate.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
cvgratnnlemrate.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemrate (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀))) < (((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) · (𝐴 / (1 − 𝐴))) / 𝑀))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem cvgratnnlemrate
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9117 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 8840 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 cvgratnn.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
41, 2, 3serf 9963 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
5 cvgratnnlemrate.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
6 cvgratnnlemrate.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
7 eluznn 9150 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
85, 6, 7syl2anc 404 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
94, 8ffvelrnd 5451 . . . . 5 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
104, 5ffvelrnd 5451 . . . . 5 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℂ)
119, 10subcld 7856 . . . 4 (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) ∈ ℂ)
1211abscld 10677 . . 3 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀))) ∈ ℝ)
13 fveq2 5320 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
1413eleq1d 2157 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℂ))
153ralrimiva 2447 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1614, 15, 5rspcdva 2730 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
1716abscld 10677 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
185nnzd 8930 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1918peano2zd 8934 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
20 eluzelz 9091 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
216, 20syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2219, 21fzfigd 9901 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
23 cvgratnn.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2423adantr 271 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
255nnred 8498 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2625adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
27 peano2re 7681 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
2826, 27syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
29 elfzelz 9503 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
3029adantl 272 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
3130zred 8931 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
3226lep1d 8455 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
33 elfzle1 9504 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑖)
3433adantl 272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑖)
3526, 28, 31, 32, 34letrd 7670 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑀𝑖)
36 znn0sub 8878 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑀𝑖 ↔ (𝑖𝑀) ∈ ℕ0))
3718, 29, 36syl2an 284 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑀𝑖 ↔ (𝑖𝑀) ∈ ℕ0))
3835, 37mpbid 146 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑖𝑀) ∈ ℕ0)
3924, 38reexpcld 10166 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴↑(𝑖𝑀)) ∈ ℝ)
4022, 39fsumrecl 10858 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀)) ∈ ℝ)
4117, 40remulcld 7581 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀))) ∈ ℝ)
42 cvgratnn.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 1)
43 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝐴)
4423, 43elrpd 9234 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
4544reclt1d 9250 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))
4642, 45mpbid 146 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (1 / 𝐴))
47 1re 7550 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
4844rprecred 9248 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
49 difrp 9233 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (1 < (1 / 𝐴) ↔ ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+))
5047, 48, 49sylancr 406 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 < (1 / 𝐴) ↔ ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+))
5146, 50mpbid 146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+)
5251rpreccld 9247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / ((1 / 𝐴) − 1)) ∈ ℝ+)
5352, 44rpdivcld 9254 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) ∈ ℝ+)
54 fveq2 5320 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
5554eleq1d 2157 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘1) ∈ ℂ))
56 1nn 8496 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
5756a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
5855, 15, 57rspcdva 2730 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
5958abscld 10677 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ)
6058absge0d 10680 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘1)))
6159, 60ge0p1rpd 9267 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) + 1) ∈ ℝ+)
6253, 61rpmulcld 9253 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) ∈ ℝ+)
6362rpred 9236 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) ∈ ℝ)
6463, 5nndivred 8535 . . . 4 (𝜑 → ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) / 𝑀) ∈ ℝ)
65 1red 7566 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6665, 23resubcld 7922 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ)
6723, 65posdifd 8072 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐴)))
6842, 67mpbid 146 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (1 − 𝐴))
6966, 68elrpd 9234 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
7044, 69rpdivcld 9254 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
7170rpred 9236 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐴)) ∈ ℝ)
7264, 71remulcld 7581 . . 3 (𝜑 → (((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) / 𝑀) · (𝐴 / (1 − 𝐴))) ∈ ℝ)
73 cvgratnn.7 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
7423, 42, 43, 3, 73, 5, 6cvgratnnlemseq 10983 . . . . 5 (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀)) = Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖))
7574fveq2d 5324 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀))) = (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖)))
7623, 42, 43, 3, 73, 5, 6cvgratnnlemabsle 10984 . . . 4 (𝜑 → (abs‘Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐹𝑖)) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀))))
7775, 76eqbrtrd 3873 . . 3 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐹𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀))))
7816absge0d 10680 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑀)))
7923, 42, 43, 3, 73, 5cvgratnnlemfm 10986 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐹𝑀)) < ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) / 𝑀))
8044adantr 271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
8138nn0zd 8929 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑖𝑀) ∈ ℤ)
8280, 81rpexpcld 10173 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴↑(𝑖𝑀)) ∈ ℝ+)
8382rpge0d 9240 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐴↑(𝑖𝑀)))
8422, 39, 83fsumge0 10916 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀)))
8523, 42, 43, 3, 73, 5, 6cvgratnnlemsumlt 10985 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀)) < (𝐴 / (1 − 𝐴)))
8617, 64, 40, 71, 78, 79, 84, 85ltmul12ad 8465 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐹𝑀)) · Σ𝑖 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴↑(𝑖𝑀))) < (((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) / 𝑀) · (𝐴 / (1 − 𝐴))))
8712, 41, 72, 77, 86lelttrd 7671 . 2 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀))) < (((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) / 𝑀) · (𝐴 / (1 − 𝐴))))
8863recnd 7579 . . 3 (𝜑 → (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) ∈ ℂ)
8971recnd 7579 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
905nncnd 8499 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
915nnap0d 8531 . . 3 (𝜑𝑀 # 0)
9288, 89, 90, 91div23apd 8358 . 2 (𝜑 → (((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) · (𝐴 / (1 − 𝐴))) / 𝑀) = (((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) / 𝑀) · (𝐴 / (1 − 𝐴))))
9387, 92breqtrrd 3879 1 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑀))) < (((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) · (𝐴 / (1 − 𝐴))) / 𝑀))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3853  ‘cfv 5030  (class class class)co 5668  ℂcc 7411  ℝcr 7412  0cc0 7413  1c1 7414   + caddc 7416   · cmul 7418   < clt 7585   ≤ cle 7586   − cmin 7716   / cdiv 8202  ℕcn 8485  ℕ0cn0 8736  ℤcz 8813  ℤ≥cuz 9082  ℝ+crp 9197  ...cfz 9487  seqcseq 9915  ↑cexp 10017  abscabs 10493  Σcsu 10805 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-ico 9375  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806 This theorem is referenced by:  cvgratnn  10988
 Copyright terms: Public domain W3C validator