Theorem cvgratnn 12097

Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio 𝐴 of the absolute values of successive terms in an infinite sequence 𝐹 is less than 1 for all terms, then the infinite sum of the terms of 𝐹 converges to a complex number. Although this theorem is similar to cvgratz 12098 and cvgratgt0 12099, the decision to index starting at one is not merely cosmetic, as proving convergence using climcvg1n 11915 is sensitive to how a sequence is indexed. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratnn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratnn.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgratnn.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
cvgratnn	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem cvgratnn

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9792	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9506	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		cvgratnn.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	serf 10746	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
5		cvgratnn.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		cvgratnn.gt0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
7	5, 6	elrpd 9928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
8	7	rprecred 9943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
9		1red 8194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
10	8, 9	resubcld 8560	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
11		cvgratnn.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
12	7	reclt1d 9945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝐴)))
13	11, 12	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (1 / 𝐴))
14	9, 8	posdifd 8712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 < (1 / 𝐴) ↔ 0 < ((1 / 𝐴) − 1)))
15	13, 14	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((1 / 𝐴) − 1))
16	10, 15	elrpd 9928	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+)
17	16	rpreccld 9942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / ((1 / 𝐴) − 1)) ∈ ℝ+)
18	17, 7	rpdivcld 9949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) ∈ ℝ+)
19		fveq2 5639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
20	19	eleq1d 2300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘1) ∈ ℂ))
21	3	ralrimiva 2605	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
22		1nn 9154	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
23	22	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
24	20, 21, 23	rspcdva 2915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
25	24	abscld 11746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ)
26	24	absge0d 11749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘1)))
27	25, 26	ge0p1rpd 9962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘1)) + 1) ∈ ℝ+)
28	18, 27	rpmulcld 9948	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) ∈ ℝ+)
29	9, 5	resubcld 8560	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ)
30	5, 9	posdifd 8712	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐴)))
31	11, 30	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − 𝐴))
32	29, 31	elrpd 9928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℝ+)
33	7, 32	rpdivcld 9949	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
34	28, 33	rpmulcld 9948	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) · (𝐴 / (1 − 𝐴))) ∈ ℝ+)
35	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚))) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚))) → 𝐴 < 1)
37	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚))) → 0 < 𝐴)
38	3	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
39		cvgratnn.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
40	39	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
41		simprl 531	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℕ)
42		simprr 533	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
43	35, 36, 37, 38, 40, 41, 42	cvgratnnlemrate 12096	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑚))) < (((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) · (𝐴 / (1 − 𝐴))) / 𝑚))
44	43	ralrimivva 2614	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑛) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑚))) < (((((1 / ((1 / 𝐴) − 1)) / 𝐴) · ((abs‘(𝐹‘1)) + 1)) · (𝐴 / (1 − 𝐴))) / 𝑚))
45	4, 34, 44	climcvg1n 11915	1 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037   < clt 8214   ≤ cle 8215   − cmin 8350   / cdiv 8852  ℕcn 9143  ℤ_≥cuz 9755  seqcseq 10710  abscabs 11562   ⇝ cli 11843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-ico 10129  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-ihash 11039  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-clim 11844  df-sumdc 11919

This theorem is referenced by:  cvgratz  12098