Theorem grpprop 13220

Description: If two structures have the same group components (properties), one is a group iff the other one is. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpprop.b	⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
grpprop.p	⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
grpprop	⊢ (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp)

Proof of Theorem grpprop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2197	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
2		grpprop.b	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
4		grpprop.p	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐿)
5	4	oveqi 5938	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦)
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
7	1, 3, 6	grppropd 13219	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))
8	7	mptru 1373	1 ⊢ (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12703  +_gcplusg 12780  Grpcgrp 13202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205

This theorem is referenced by:  rmodislmod  13983