Theorem ivthinclemur 15161

Description: Lemma for ivthinc 15165. The upper cut is rounded. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑞   𝐵,𝑞,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝑅,𝑞,𝑥,𝑦   𝑤,𝑈   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑅(𝑤,𝑟)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑟,𝑞)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem ivthinclemur

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ivth.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ivth.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑈 ∈ ℝ)
7		ivth.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
8	7	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝐴 < 𝐵)
9		ivth.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
10	9	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
11		ivth.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
12	11	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
13		ivth.8	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		ivth.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
17	16	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
18		ivthinc.i	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
19	18	adantllr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
20	19	adantllr 481	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
21		ivthinclem.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
22		ivthinclem.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
23		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑟 ∈ 𝑅)
24	2, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 17, 20, 21, 22, 23	ivthinclemuopn 15160	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑟)
25	24	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑟 ∈ 𝑅 → ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑟))
26		simpllr 534	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
27	5	ad3antrrr 492	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 ∈ ℝ)
28		fveq2 5586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑞))
29	28	eleq1d 2275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ))
30	13	ralrimiva 2580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
31	30	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
32		fveq2 5586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑞))
33	32	breq2d 4060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝑞)))
34	33, 22	elrab2 2934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑅 ↔ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑞)))
35	34	simplbi 274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑅 → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
36	35	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
37	29, 31, 36	rspcdva 2884	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ)
38		fveq2 5586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑟))
39	38	eleq1d 2275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ))
40	39, 31, 26	rspcdva 2884	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ)
41	34	simprbi 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑅 → 𝑈 < (𝐹‘𝑞))
42	41	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 < (𝐹‘𝑞))
43		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 < 𝑟)
44		breq2 4052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑟))
45		fveq2 5586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑟))
46	45	breq2d 4060	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
47	44, 46	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))))
48		breq1 4051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑦))
49	28	breq1d 4058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
50	48, 49	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
51	50	ralbidv 2507	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
52	18	expr 375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
53	52	ralrimiva 2580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
54	53	ralrimiva 2580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
55	54	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
56	51, 55, 36	rspcdva 2884	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
57	47, 56, 26	rspcdva 2884	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
58	43, 57	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))
59	27, 37, 40, 42, 58	lttrd 8211	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 < (𝐹‘𝑟))
60		fveq2 5586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑟))
61	60	breq2d 4060	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)))
62	61, 22	elrab2 2934	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)))
63	26, 59, 62	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ 𝑅)
64	63	rexlimdva2 2627	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑟 → 𝑟 ∈ 𝑅))
65	25, 64	impbid 129	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑟 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑟))
66	65	ralrimiva 2580	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486  {crab 2489   ⊆ wss 3168   class class class wbr 4048  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  ℂcc 7936  ℝcr 7937   < clt 8120  [,]cicc 10026  –cn→ccncf 15092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057  ax-caucvg 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-frec 6487  df-map 6747  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-rp 9789  df-icc 10030  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-cj 11203  df-re 11204  df-im 11205  df-rsqrt 11359  df-abs 11360  df-cncf 15093

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  15164