Theorem ivthinclemur 15298

Description: Lemma for ivthinc 15302. The upper cut is rounded. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑞   𝐵,𝑞,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝑅,𝑞,𝑥,𝑦   𝑤,𝑈   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑅(𝑤,𝑟)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑟,𝑞)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem ivthinclemur

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ivth.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ivth.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑈 ∈ ℝ)
7		ivth.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
8	7	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝐴 < 𝐵)
9		ivth.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
10	9	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
11		ivth.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
12	11	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
13		ivth.8	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		ivth.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
17	16	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
18		ivthinc.i	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
19	18	adantllr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
20	19	adantllr 481	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
21		ivthinclem.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
22		ivthinclem.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
23		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑟 ∈ 𝑅)
24	2, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 17, 20, 21, 22, 23	ivthinclemuopn 15297	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑟)
25	24	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑟 ∈ 𝑅 → ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑟))
26		simpllr 534	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
27	5	ad3antrrr 492	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 ∈ ℝ)
28		fveq2 5623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑞))
29	28	eleq1d 2298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ))
30	13	ralrimiva 2603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
31	30	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
32		fveq2 5623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑞))
33	32	breq2d 4094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝑞)))
34	33, 22	elrab2 2962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑅 ↔ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑞)))
35	34	simplbi 274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑅 → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
36	35	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
37	29, 31, 36	rspcdva 2912	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ)
38		fveq2 5623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑟))
39	38	eleq1d 2298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ))
40	39, 31, 26	rspcdva 2912	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ)
41	34	simprbi 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ 𝑅 → 𝑈 < (𝐹‘𝑞))
42	41	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 < (𝐹‘𝑞))
43		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 < 𝑟)
44		breq2 4086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑟))
45		fveq2 5623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑟))
46	45	breq2d 4094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
47	44, 46	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))))
48		breq1 4085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑦))
49	28	breq1d 4092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
50	48, 49	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
51	50	ralbidv 2530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
52	18	expr 375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
53	52	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
54	53	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
55	54	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
56	51, 55, 36	rspcdva 2912	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
57	47, 56, 26	rspcdva 2912	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
58	43, 57	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))
59	27, 37, 40, 42, 58	lttrd 8260	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 < (𝐹‘𝑟))
60		fveq2 5623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑟))
61	60	breq2d 4094	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)))
62	61, 22	elrab2 2962	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)))
63	26, 59, 62	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞 ∈ 𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ 𝑅)
64	63	rexlimdva2 2651	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑟 → 𝑟 ∈ 𝑅))
65	25, 64	impbid 129	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑟 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑟))
66	65	ralrimiva 2603	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  {crab 2512   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4082  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  ℂcc 7985  ℝcr 7986   < clt 8169  [,]cicc 10075  –cn→ccncf 15229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-map 6787  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-rp 9838  df-icc 10079  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-cncf 15230

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  15301