ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ivthinclemur GIF version

Theorem ivthinclemur 13376
Description: Lemma for ivthinc 13380. The upper cut is rounded. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
ivthinc.i (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
ivthinclem.l 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}
Assertion
Ref Expression
ivthinclemur (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑅 ↔ ∃𝑞𝑅 𝑞 < 𝑟))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑞   𝐵,𝑞,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝑅,𝑞,𝑥,𝑦   𝑤,𝑈   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑅(𝑤,𝑟)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑟,𝑞)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem ivthinclemur
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21ad2antrr 485 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝑅) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 ivth.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43ad2antrr 485 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝑅) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 ivth.3 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
65ad2antrr 485 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝑅) → 𝑈 ∈ ℝ)
7 ivth.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
87ad2antrr 485 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝑅) → 𝐴 < 𝐵)
9 ivth.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
109ad2antrr 485 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝑅) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
11 ivth.7 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
1211ad2antrr 485 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝑅) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
13 ivth.8 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1413adantlr 474 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1514adantlr 474 . . . . 5 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
16 ivth.9 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
1716ad2antrr 485 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝑅) → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
18 ivthinc.i . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
1918adantllr 478 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
2019adantllr 478 . . . . 5 (((((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
21 ivthinclem.l . . . . 5 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
22 ivthinclem.r . . . . 5 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}
23 simpr 109 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝑅) → 𝑟𝑅)
242, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 17, 20, 21, 22, 23ivthinclemuopn 13375 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑟𝑅) → ∃𝑞𝑅 𝑞 < 𝑟)
2524ex 114 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑟𝑅 → ∃𝑞𝑅 𝑞 < 𝑟))
26 simpllr 529 . . . . 5 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
275ad3antrrr 489 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 ∈ ℝ)
28 fveq2 5494 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑞 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑞))
2928eleq1d 2239 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑞) ∈ ℝ))
3013ralrimiva 2543 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3130ad3antrrr 489 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
32 fveq2 5494 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑞 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑞))
3332breq2d 3999 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑞 → (𝑈 < (𝐹𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹𝑞)))
3433, 22elrab2 2889 . . . . . . . . 9 (𝑞𝑅 ↔ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹𝑞)))
3534simplbi 272 . . . . . . . 8 (𝑞𝑅𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3635ad2antlr 486 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3729, 31, 36rspcdva 2839 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹𝑞) ∈ ℝ)
38 fveq2 5494 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑟 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑟))
3938eleq1d 2239 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑟 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑟) ∈ ℝ))
4039, 31, 26rspcdva 2839 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹𝑟) ∈ ℝ)
4134simprbi 273 . . . . . . 7 (𝑞𝑅𝑈 < (𝐹𝑞))
4241ad2antlr 486 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 < (𝐹𝑞))
43 simpr 109 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 < 𝑟)
44 breq2 3991 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑦𝑞 < 𝑟))
45 fveq2 5494 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑟 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑟))
4645breq2d 3999 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑟 → ((𝐹𝑞) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑞) < (𝐹𝑟)))
4744, 46imbi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑟 → ((𝑞 < 𝑦 → (𝐹𝑞) < (𝐹𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑟 → (𝐹𝑞) < (𝐹𝑟))))
48 breq1 3990 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 < 𝑦𝑞 < 𝑦))
4928breq1d 3997 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑞) < (𝐹𝑦)))
5048, 49imbi12d 233 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑞 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑦 → (𝐹𝑞) < (𝐹𝑦))))
5150ralbidv 2470 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑞 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹𝑞) < (𝐹𝑦))))
5218expr 373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
5352ralrimiva 2543 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
5453ralrimiva 2543 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
5554ad3antrrr 489 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
5651, 55, 36rspcdva 2839 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹𝑞) < (𝐹𝑦)))
5747, 56, 26rspcdva 2839 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑞 < 𝑟 → (𝐹𝑞) < (𝐹𝑟)))
5843, 57mpd 13 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹𝑞) < (𝐹𝑟))
5927, 37, 40, 42, 58lttrd 8038 . . . . 5 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 < (𝐹𝑟))
60 fveq2 5494 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑟 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑟))
6160breq2d 3999 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑟 → (𝑈 < (𝐹𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹𝑟)))
6261, 22elrab2 2889 . . . . 5 (𝑟𝑅 ↔ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹𝑟)))
6326, 59, 62sylanbrc 415 . . . 4 ((((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑞𝑅) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟𝑅)
6463rexlimdva2 2590 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (∃𝑞𝑅 𝑞 < 𝑟𝑟𝑅))
6525, 64impbid 128 . 2 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑟𝑅 ↔ ∃𝑞𝑅 𝑞 < 𝑟))
6665ralrimiva 2543 1 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑅 ↔ ∃𝑞𝑅 𝑞 < 𝑟))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  wrex 2449  {crab 2452  wss 3121   class class class wbr 3987  cfv 5196  (class class class)co 5851  cc 7765  cr 7766   < clt 7947  [,]cicc 9841  cnccncf 13316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886  ax-caucvg 7887
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-map 6626  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-rp 9604  df-icc 9845  df-seqfrec 10395  df-exp 10469  df-cj 10799  df-re 10800  df-im 10801  df-rsqrt 10955  df-abs 10956  df-cncf 13317
This theorem is referenced by:  ivthinclemex  13379
  Copyright terms: Public domain W3C validator