ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lbioog GIF version

Theorem lbioog 9224
Description: An open interval does not contain its left endpoint. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
lbioog ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem lbioog
StepHypRef Expression
1 xrltnr 9143 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2 simp2 940 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
31, 2nsyl 591 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐵))
43adantr 270 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐵))
5 elioo1 9222 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐴𝐴 < 𝐵)))
64, 5mtbird 631 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  w3a 920  wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5589  *cxr 7422   < clt 7423  (,)cioo 9199
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-pre-ltirr 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4083  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fv 4975  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-ioo 9203
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator