Theorem lbioog 10153

Description: An open interval does not contain its left endpoint. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lbioog	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem lbioog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 10019	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2		simp2 1024	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
3	1, 2	nsyl 633	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
4	3	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
5		elioo1 10151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)))
6	4, 5	mtbird 679	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  ℝ^*cxr 8218   < clt 8219  (,)cioo 10128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-pre-ltirr 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-ioo 10132

This theorem is referenced by: (None)