Theorem lbioog 9982

Description: An open interval does not contain its left endpoint. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lbioog	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem lbioog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 9848	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2		simp2 1000	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
3	1, 2	nsyl 629	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
4	3	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
5		elioo1 9980	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)))
6	4, 5	mtbird 674	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℝ^*cxr 8055   < clt 8056  (,)cioo 9957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltirr 7986

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-ioo 9961

This theorem is referenced by: (None)