ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elioore GIF version

Theorem elioore 9886
Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elioore (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore
StepHypRef Expression
1 elioo3g 9884 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
2 3ancomb 986 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
3 xrre2 9795 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
42, 3sylanb 284 . 2 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
51, 4sylbi 121 1 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868  cr 7788  *cxr 7968   < clt 7969  (,)cioo 9862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-ioo 9866
This theorem is referenced by:  iooval2  9889  elioo4g  9908  ioossre  9909  zltaddlt1le  9981  tgioo  13679  ivthinc  13754  reeff1oleme  13826  sin0pilem1  13835  sin0pilem2  13836  pilem3  13837  pire  13840  sinq34lt0t  13885  cosq14gt0  13886  cosq23lt0  13887  coseq0q4123  13888  tanrpcl  13891  tangtx  13892  cos02pilt1  13905  cos0pilt1  13906  ioocosf1o  13908  iooref1o  14405
  Copyright terms: Public domain W3C validator