ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ubioog GIF version

Theorem ubioog 9704
Description: An open interval does not contain its right endpoint. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
ubioog ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem ubioog
StepHypRef Expression
1 xrltnr 9573 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 < 𝐵)
2 simp3 983 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐵) → 𝐵 < 𝐵)
31, 2nsyl 617 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐵))
43adantl 275 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐵))
5 elioo1 9701 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐵)))
64, 5mtbird 662 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  w3a 962  wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  *cxr 7806   < clt 7807  (,)cioo 9678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-pre-ltirr 7739
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-ioo 9682
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator