Theorem ubioog 9393

Description: An open interval does not contain its right endpoint. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ubioog	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem ubioog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 9311	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 < 𝐵)
2		simp3 946	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐵) → 𝐵 < 𝐵)
3	1, 2	nsyl 594	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐵))
4	3	adantl 272	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐵))
5		elioo1 9390	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐵)))
6	4, 5	mtbird 634	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 925   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  ℝ^*cxr 7582   < clt 7583  (,)cioo 9367

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-pre-ltirr 7518

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-ioo 9371

This theorem is referenced by: (None)