ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  le2subd GIF version

Theorem le2subd 8348
Description: Subtracting both sides of two 'less than or equal to' relations. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5 (𝜑𝐴𝐶)
le2addd.6 (𝜑𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
le2subd (𝜑 → (𝐴𝐷) ≤ (𝐶𝐵))

Proof of Theorem le2subd
StepHypRef Expression
1 le2addd.5 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
2 le2addd.6 . 2 (𝜑𝐵𝐷)
3 leidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 lt2addd.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
5 ltadd1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 ltnegd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 le2sub 8245 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐷) ≤ (𝐶𝐵)))
83, 4, 5, 6, 7syl22anc 1218 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐷) ≤ (𝐶𝐵)))
91, 2, 8mp2and 430 1 (𝜑 → (𝐴𝐷) ≤ (𝐶𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1481   class class class wbr 3935  (class class class)co 5780  cr 7641  cle 7823  cmin 7955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-addcom 7742  ax-addass 7744  ax-distr 7746  ax-i2m1 7747  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-cnre 7753  ax-pre-ltwlin 7755  ax-pre-ltadd 7758
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-br 3936  df-opab 3996  df-id 4221  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fv 5137  df-riota 5736  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-sub 7957  df-neg 7958
This theorem is referenced by:  cos12dec  11503
  Copyright terms: Public domain W3C validator