ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  le2subd GIF version

Theorem le2subd 8138
Description: Subtracting both sides of two 'less than or equal to' relations. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5 (𝜑𝐴𝐶)
le2addd.6 (𝜑𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
le2subd (𝜑 → (𝐴𝐷) ≤ (𝐶𝐵))

Proof of Theorem le2subd
StepHypRef Expression
1 le2addd.5 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
2 le2addd.6 . 2 (𝜑𝐵𝐷)
3 leidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 lt2addd.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
5 ltadd1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 ltnegd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 le2sub 8036 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐷) ≤ (𝐶𝐵)))
83, 4, 5, 6, 7syl22anc 1182 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐷) ≤ (𝐶𝐵)))
91, 2, 8mp2and 425 1 (𝜑 → (𝐴𝐷) ≤ (𝐶𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  cr 7446  cle 7620  cmin 7750
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator