Theorem le2subd 8737

Description: Subtracting both sides of two 'less than or equal to' relations. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
le2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
le2subd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) ≤ (𝐶 − 𝐵))

Proof of Theorem le2subd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le2addd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
2		le2addd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
3		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
5		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7		le2sub 8634	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 − 𝐷) ≤ (𝐶 − 𝐵)))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 1272	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 − 𝐷) ≤ (𝐶 − 𝐵)))
9	1, 2, 8	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) ≤ (𝐶 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℝcr 8024   ≤ cle 8208   − cmin 8343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346

This theorem is referenced by:  cos12dec  12322