Theorem maxabslemab 11350

Description: Lemma for maxabs 11353. A variation of maxleim 11349- that is, if we know which of two real numbers is larger, we know the maximum of the two. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
maxabslemab.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
maxabslemab.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
maxabslemab.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
maxabslemab	⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = 𝐵)

Proof of Theorem maxabslemab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maxabslemab.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 8048	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		maxabslemab.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 8048	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4, 2	ppncand 8370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 + 𝐵))
6	4, 2	addcomd 8170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7		maxabslemab.ab	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 1, 7	ltled 8138	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
9	3, 1, 8	abssuble0d 11321	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
10	6, 9	oveq12d 5936	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) = ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 − 𝐴)))
11	2	2timesd 9225	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
12	5, 10, 11	3eqtr4rd 2237	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
13	4, 2	addcld 8039	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
14	1, 3	resubcld 8400	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
15	9, 14	eqeltrd 2270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 8048	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
17	13, 16	addcld 8039	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℂ)
18		2cnd 9055	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
19		2ap0 9075	. . . 4 ⊢ 2 # 0
20	19	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
21	17, 18, 2, 20	divmulapd 8831	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = 𝐵 ↔ (2 · 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
22	12, 21	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℝcr 7871  0cc0 7872   + caddc 7875   · cmul 7877   < clt 8054   − cmin 8190   # cap 8600   / cdiv 8691  2c2 9033  abscabs 11141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143

This theorem is referenced by:  maxabslemlub  11351