Theorem maxabslemab 11170

Description: Lemma for maxabs 11173. A variation of maxleim 11169- that is, if we know which of two real numbers is larger, we know the maximum of the two. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
maxabslemab.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
maxabslemab.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
maxabslemab.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
maxabslemab	⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = 𝐵)

Proof of Theorem maxabslemab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maxabslemab.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 7948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		maxabslemab.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 7948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4, 2	ppncand 8270	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 + 𝐵))
6	4, 2	addcomd 8070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7		maxabslemab.ab	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 1, 7	ltled 8038	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
9	3, 1, 8	abssuble0d 11141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
10	6, 9	oveq12d 5871	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) = ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 − 𝐴)))
11	2	2timesd 9120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
12	5, 10, 11	3eqtr4rd 2214	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
13	4, 2	addcld 7939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
14	1, 3	resubcld 8300	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
15	9, 14	eqeltrd 2247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 7948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
17	13, 16	addcld 7939	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℂ)
18		2cnd 8951	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
19		2ap0 8971	. . . 4 ⊢ 2 # 0
20	19	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
21	17, 18, 2, 20	divmulapd 8729	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = 𝐵 ↔ (2 · 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
22	12, 21	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  0cc0 7774   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954   − cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589  2c2 8929  abscabs 10961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963

This theorem is referenced by:  maxabslemlub  11171