![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > maxabslemab | GIF version |
Description: Lemma for maxabs 11231. A variation of maxleim 11227- that is, if we know which of two real numbers is larger, we know the maximum of the two. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Dec-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
maxabslemab.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
maxabslemab.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
maxabslemab.ab | โข (๐ โ ๐ด < ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
maxabslemab | โข (๐ โ (((๐ด + ๐ต) + (absโ(๐ด โ ๐ต))) / 2) = ๐ต) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | maxabslemab.b | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
2 | 1 | recnd 7999 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
3 | maxabslemab.a | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
4 | 3 | recnd 7999 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
5 | 2, 4, 2 | ppncand 8321 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ต + ๐ด) + (๐ต โ ๐ด)) = (๐ต + ๐ต)) |
6 | 4, 2 | addcomd 8121 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) = (๐ต + ๐ด)) |
7 | maxabslemab.ab | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด < ๐ต) | |
8 | 3, 1, 7 | ltled 8089 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) |
9 | 3, 1, 8 | abssuble0d 11199 | . . . 4 โข (๐ โ (absโ(๐ด โ ๐ต)) = (๐ต โ ๐ด)) |
10 | 6, 9 | oveq12d 5906 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) + (absโ(๐ด โ ๐ต))) = ((๐ต + ๐ด) + (๐ต โ ๐ด))) |
11 | 2 | 2timesd 9174 | . . 3 โข (๐ โ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต)) |
12 | 5, 10, 11 | 3eqtr4rd 2231 | . 2 โข (๐ โ (2 ยท ๐ต) = ((๐ด + ๐ต) + (absโ(๐ด โ ๐ต)))) |
13 | 4, 2 | addcld 7990 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โ โ) |
14 | 1, 3 | resubcld 8351 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ต โ ๐ด) โ โ) |
15 | 9, 14 | eqeltrd 2264 | . . . . 5 โข (๐ โ (absโ(๐ด โ ๐ต)) โ โ) |
16 | 15 | recnd 7999 | . . . 4 โข (๐ โ (absโ(๐ด โ ๐ต)) โ โ) |
17 | 13, 16 | addcld 7990 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) + (absโ(๐ด โ ๐ต))) โ โ) |
18 | 2cnd 9005 | . . 3 โข (๐ โ 2 โ โ) | |
19 | 2ap0 9025 | . . . 4 โข 2 # 0 | |
20 | 19 | a1i 9 | . . 3 โข (๐ โ 2 # 0) |
21 | 17, 18, 2, 20 | divmulapd 8782 | . 2 โข (๐ โ ((((๐ด + ๐ต) + (absโ(๐ด โ ๐ต))) / 2) = ๐ต โ (2 ยท ๐ต) = ((๐ด + ๐ต) + (absโ(๐ด โ ๐ต))))) |
22 | 12, 21 | mpbird 167 | 1 โข (๐ โ (((๐ด + ๐ต) + (absโ(๐ด โ ๐ต))) / 2) = ๐ต) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1363 โ wcel 2158 class class class wbr 4015 โcfv 5228 (class class class)co 5888 โcr 7823 0cc0 7824 + caddc 7827 ยท cmul 7829 < clt 8005 โ cmin 8141 # cap 8551 / cdiv 8642 2c2 8983 abscabs 11019 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 ax-cnex 7915 ax-resscn 7916 ax-1cn 7917 ax-1re 7918 ax-icn 7919 ax-addcl 7920 ax-addrcl 7921 ax-mulcl 7922 ax-mulrcl 7923 ax-addcom 7924 ax-mulcom 7925 ax-addass 7926 ax-mulass 7927 ax-distr 7928 ax-i2m1 7929 ax-0lt1 7930 ax-1rid 7931 ax-0id 7932 ax-rnegex 7933 ax-precex 7934 ax-cnre 7935 ax-pre-ltirr 7936 ax-pre-ltwlin 7937 ax-pre-lttrn 7938 ax-pre-apti 7939 ax-pre-ltadd 7940 ax-pre-mulgt0 7941 ax-pre-mulext 7942 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-if 3547 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-iord 4378 df-on 4380 df-ilim 4381 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6154 df-2nd 6155 df-recs 6319 df-frec 6405 df-pnf 8007 df-mnf 8008 df-xr 8009 df-ltxr 8010 df-le 8011 df-sub 8143 df-neg 8144 df-reap 8545 df-ap 8552 df-div 8643 df-inn 8933 df-2 8991 df-n0 9190 df-z 9267 df-uz 9542 df-seqfrec 10459 df-exp 10533 df-cj 10864 df-re 10865 df-im 10866 df-rsqrt 11020 df-abs 11021 |
This theorem is referenced by: maxabslemlub 11229 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |