Theorem maxabslemab 11218

Description: Lemma for maxabs 11221. A variation of maxleim 11217- that is, if we know which of two real numbers is larger, we know the maximum of the two. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
maxabslemab.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
maxabslemab.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
maxabslemab.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
maxabslemab	⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = 𝐵)

Proof of Theorem maxabslemab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maxabslemab.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 7989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		maxabslemab.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 7989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4, 2	ppncand 8311	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 + 𝐵))
6	4, 2	addcomd 8111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7		maxabslemab.ab	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 1, 7	ltled 8079	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
9	3, 1, 8	abssuble0d 11189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
10	6, 9	oveq12d 5896	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) = ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 − 𝐴)))
11	2	2timesd 9164	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
12	5, 10, 11	3eqtr4rd 2221	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
13	4, 2	addcld 7980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
14	1, 3	resubcld 8341	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
15	9, 14	eqeltrd 2254	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 7989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
17	13, 16	addcld 7980	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℂ)
18		2cnd 8995	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
19		2ap0 9015	. . . 4 ⊢ 2 # 0
20	19	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
21	17, 18, 2, 20	divmulapd 8772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = 𝐵 ↔ (2 · 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
22	12, 21	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  ℝcr 7813  0cc0 7814   + caddc 7817   · cmul 7819   < clt 7995   − cmin 8131   # cap 8541   / cdiv 8632  2c2 8973  abscabs 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011

This theorem is referenced by:  maxabslemlub  11219