Theorem maxabslemab 11996

Description: Lemma for maxabs 11999. A variation of maxleim 11995- that is, if we know which of two real numbers is larger, we know the maximum of the two. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
maxabslemab.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
maxabslemab.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
maxabslemab.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
maxabslemab	⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = 𝐵)

Proof of Theorem maxabslemab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maxabslemab.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 8361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		maxabslemab.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 8361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4, 2	ppncand 8685	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 + 𝐵))
6	4, 2	addcomd 8485	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7		maxabslemab.ab	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
8	3, 1, 7	ltled 8453	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
9	3, 1, 8	abssuble0d 11967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
10	6, 9	oveq12d 6106	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) = ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 − 𝐴)))
11	2	2timesd 9560	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
12	5, 10, 11	3eqtr4rd 2282	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
13	4, 2	addcld 8352	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
14	1, 3	resubcld 8716	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
15	9, 14	eqeltrd 2315	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 8361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
17	13, 16	addcld 8352	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℂ)
18		2cnd 9387	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
19		2ap0 9407	. . . 4 ⊢ 2 # 0
20	19	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
21	17, 18, 2, 20	divmulapd 9151	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = 𝐵 ↔ (2 · 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
22	12, 21	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℝcr 8185  0cc0 8186   + caddc 8189   · cmul 8191   < clt 8367   − cmin 8505   # cap 8918   / cdiv 9011  2c2 9365  abscabs 11786

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788

This theorem is used by:  maxabslemlub  11997