![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > maxabslemab | GIF version |
Description: Lemma for maxabs 11237. A variation of maxleim 11233- that is, if we know which of two real numbers is larger, we know the maximum of the two. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Dec-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
maxabslemab.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
maxabslemab.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
maxabslemab.ab | โข (๐ โ ๐ด < ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
maxabslemab | โข (๐ โ (((๐ด + ๐ต) + (absโ(๐ด โ ๐ต))) / 2) = ๐ต) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | maxabslemab.b | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
2 | 1 | recnd 8005 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
3 | maxabslemab.a | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
4 | 3 | recnd 8005 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
5 | 2, 4, 2 | ppncand 8327 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ต + ๐ด) + (๐ต โ ๐ด)) = (๐ต + ๐ต)) |
6 | 4, 2 | addcomd 8127 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) = (๐ต + ๐ด)) |
7 | maxabslemab.ab | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด < ๐ต) | |
8 | 3, 1, 7 | ltled 8095 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) |
9 | 3, 1, 8 | abssuble0d 11205 | . . . 4 โข (๐ โ (absโ(๐ด โ ๐ต)) = (๐ต โ ๐ด)) |
10 | 6, 9 | oveq12d 5909 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) + (absโ(๐ด โ ๐ต))) = ((๐ต + ๐ด) + (๐ต โ ๐ด))) |
11 | 2 | 2timesd 9180 | . . 3 โข (๐ โ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต)) |
12 | 5, 10, 11 | 3eqtr4rd 2233 | . 2 โข (๐ โ (2 ยท ๐ต) = ((๐ด + ๐ต) + (absโ(๐ด โ ๐ต)))) |
13 | 4, 2 | addcld 7996 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โ โ) |
14 | 1, 3 | resubcld 8357 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ต โ ๐ด) โ โ) |
15 | 9, 14 | eqeltrd 2266 | . . . . 5 โข (๐ โ (absโ(๐ด โ ๐ต)) โ โ) |
16 | 15 | recnd 8005 | . . . 4 โข (๐ โ (absโ(๐ด โ ๐ต)) โ โ) |
17 | 13, 16 | addcld 7996 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) + (absโ(๐ด โ ๐ต))) โ โ) |
18 | 2cnd 9011 | . . 3 โข (๐ โ 2 โ โ) | |
19 | 2ap0 9031 | . . . 4 โข 2 # 0 | |
20 | 19 | a1i 9 | . . 3 โข (๐ โ 2 # 0) |
21 | 17, 18, 2, 20 | divmulapd 8788 | . 2 โข (๐ โ ((((๐ด + ๐ต) + (absโ(๐ด โ ๐ต))) / 2) = ๐ต โ (2 ยท ๐ต) = ((๐ด + ๐ต) + (absโ(๐ด โ ๐ต))))) |
22 | 12, 21 | mpbird 167 | 1 โข (๐ โ (((๐ด + ๐ต) + (absโ(๐ด โ ๐ต))) / 2) = ๐ต) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1364 โ wcel 2160 class class class wbr 4018 โcfv 5231 (class class class)co 5891 โcr 7829 0cc0 7830 + caddc 7833 ยท cmul 7835 < clt 8011 โ cmin 8147 # cap 8557 / cdiv 8648 2c2 8989 abscabs 11025 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-iinf 4602 ax-cnex 7921 ax-resscn 7922 ax-1cn 7923 ax-1re 7924 ax-icn 7925 ax-addcl 7926 ax-addrcl 7927 ax-mulcl 7928 ax-mulrcl 7929 ax-addcom 7930 ax-mulcom 7931 ax-addass 7932 ax-mulass 7933 ax-distr 7934 ax-i2m1 7935 ax-0lt1 7936 ax-1rid 7937 ax-0id 7938 ax-rnegex 7939 ax-precex 7940 ax-cnre 7941 ax-pre-ltirr 7942 ax-pre-ltwlin 7943 ax-pre-lttrn 7944 ax-pre-apti 7945 ax-pre-ltadd 7946 ax-pre-mulgt0 7947 ax-pre-mulext 7948 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4308 df-po 4311 df-iso 4312 df-iord 4381 df-on 4383 df-ilim 4384 df-suc 4386 df-iom 4605 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fn 5234 df-f 5235 df-f1 5236 df-fo 5237 df-f1o 5238 df-fv 5239 df-riota 5847 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-1st 6159 df-2nd 6160 df-recs 6324 df-frec 6410 df-pnf 8013 df-mnf 8014 df-xr 8015 df-ltxr 8016 df-le 8017 df-sub 8149 df-neg 8150 df-reap 8551 df-ap 8558 df-div 8649 df-inn 8939 df-2 8997 df-n0 9196 df-z 9273 df-uz 9548 df-seqfrec 10465 df-exp 10539 df-cj 10870 df-re 10871 df-im 10872 df-rsqrt 11026 df-abs 11027 |
This theorem is referenced by: maxabslemlub 11235 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |