ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  maxabslemab GIF version

Theorem maxabslemab 11234
Description: Lemma for maxabs 11237. A variation of maxleim 11233- that is, if we know which of two real numbers is larger, we know the maximum of the two. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
maxabslemab.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
maxabslemab.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
maxabslemab.ab (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
Assertion
Ref Expression
maxabslemab (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2) = ๐ต)

Proof of Theorem maxabslemab
StepHypRef Expression
1 maxabslemab.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
21recnd 8005 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 maxabslemab.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
43recnd 8005 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
52, 4, 2ppncand 8327 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต + ๐ด) + (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (๐ต + ๐ต))
64, 2addcomd 8127 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ต + ๐ด))
7 maxabslemab.ab . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
83, 1, 7ltled 8095 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
93, 1, 8abssuble0d 11205 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
106, 9oveq12d 5909 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) = ((๐ต + ๐ด) + (๐ต โˆ’ ๐ด)))
1122timesd 9180 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
125, 10, 113eqtr4rd 2233 . 2 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ต) = ((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))))
134, 2addcld 7996 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
141, 3resubcld 8357 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
159, 14eqeltrd 2266 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
1615recnd 8005 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
1713, 16addcld 7996 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
18 2cnd 9011 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
19 2ap0 9031 . . . 4 2 # 0
2019a1i 9 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 2 # 0)
2117, 18, 2, 20divmulapd 8788 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2) = ๐ต โ†” (2 ยท ๐ต) = ((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)))))
2212, 21mpbird 167 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2) = ๐ต)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160   class class class wbr 4018  โ€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  โ„cr 7829  0cc0 7830   + caddc 7833   ยท cmul 7835   < clt 8011   โˆ’ cmin 8147   # cap 8557   / cdiv 8648  2c2 8989  abscabs 11025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027
This theorem is referenced by:  maxabslemlub  11235
  Copyright terms: Public domain W3C validator