ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  maxabslemab GIF version

Theorem maxabslemab 11228
Description: Lemma for maxabs 11231. A variation of maxleim 11227- that is, if we know which of two real numbers is larger, we know the maximum of the two. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
maxabslemab.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
maxabslemab.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
maxabslemab.ab (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
Assertion
Ref Expression
maxabslemab (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2) = ๐ต)

Proof of Theorem maxabslemab
StepHypRef Expression
1 maxabslemab.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
21recnd 7999 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 maxabslemab.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
43recnd 7999 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
52, 4, 2ppncand 8321 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต + ๐ด) + (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (๐ต + ๐ต))
64, 2addcomd 8121 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ต + ๐ด))
7 maxabslemab.ab . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
83, 1, 7ltled 8089 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
93, 1, 8abssuble0d 11199 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
106, 9oveq12d 5906 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) = ((๐ต + ๐ด) + (๐ต โˆ’ ๐ด)))
1122timesd 9174 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
125, 10, 113eqtr4rd 2231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ต) = ((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))))
134, 2addcld 7990 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
141, 3resubcld 8351 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
159, 14eqeltrd 2264 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
1615recnd 7999 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
1713, 16addcld 7990 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
18 2cnd 9005 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
19 2ap0 9025 . . . 4 2 # 0
2019a1i 9 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 2 # 0)
2117, 18, 2, 20divmulapd 8782 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2) = ๐ต โ†” (2 ยท ๐ต) = ((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)))))
2212, 21mpbird 167 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2) = ๐ต)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  โ„cr 7823  0cc0 7824   + caddc 7827   ยท cmul 7829   < clt 8005   โˆ’ cmin 8141   # cap 8551   / cdiv 8642  2c2 8983  abscabs 11019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021
This theorem is referenced by:  maxabslemlub  11229
  Copyright terms: Public domain W3C validator