Proof of Theorem ovmpos
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elex 2723 |
. . 3
⊢
(⦋𝐴 /
𝑥⦌⦋𝐵 / 𝑦⦌𝑅 ∈ 𝑉 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌⦋𝐵 / 𝑦⦌𝑅 ∈ V) |
2 | | nfcv 2299 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑥𝐴 |
3 | | nfcv 2299 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑦𝐴 |
4 | | nfcv 2299 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑦𝐵 |
5 | | nfcsb1v 3064 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑥⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 |
6 | 5 | nfel1 2310 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑥⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V |
7 | | ovmpos.3 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅) |
8 | | nfmpo1 5890 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅) |
9 | 7, 8 | nfcxfr 2296 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥𝐹 |
10 | | nfcv 2299 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥𝑦 |
11 | 2, 9, 10 | nfov 5853 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑥(𝐴𝐹𝑦) |
12 | 11, 5 | nfeq 2307 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑥(𝐴𝐹𝑦) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 |
13 | 6, 12 | nfim 1552 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑥(⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V → (𝐴𝐹𝑦) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅) |
14 | | nfcsb1v 3064 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑦⦋𝐵 / 𝑦⦌⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 |
15 | 14 | nfel1 2310 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑦⦋𝐵 / 𝑦⦌⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V |
16 | | nfmpo2 5891 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅) |
17 | 7, 16 | nfcxfr 2296 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑦𝐹 |
18 | 3, 17, 4 | nfov 5853 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑦(𝐴𝐹𝐵) |
19 | 18, 14 | nfeq 2307 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑦(𝐴𝐹𝐵) = ⦋𝐵 / 𝑦⦌⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 |
20 | 15, 19 | nfim 1552 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑦(⦋𝐵 / 𝑦⦌⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ⦋𝐵 / 𝑦⦌⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅) |
21 | | csbeq1a 3040 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅) |
22 | 21 | eleq1d 2226 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 ∈ V ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V)) |
23 | | oveq1 5833 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐹𝑦) = (𝐴𝐹𝑦)) |
24 | 23, 21 | eqeq12d 2172 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐹𝑦) = 𝑅 ↔ (𝐴𝐹𝑦) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅)) |
25 | 22, 24 | imbi12d 233 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑅 ∈ V → (𝑥𝐹𝑦) = 𝑅) ↔ (⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V → (𝐴𝐹𝑦) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅))) |
26 | | csbeq1a 3040 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = 𝐵 → ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 = ⦋𝐵 / 𝑦⦌⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅) |
27 | 26 | eleq1d 2226 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝐵 → (⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V ↔ ⦋𝐵 / 𝑦⦌⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V)) |
28 | | oveq2 5834 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴𝐹𝑦) = (𝐴𝐹𝐵)) |
29 | 28, 26 | eqeq12d 2172 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝐹𝑦) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 ↔ (𝐴𝐹𝐵) = ⦋𝐵 / 𝑦⦌⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅)) |
30 | 27, 29 | imbi12d 233 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V → (𝐴𝐹𝑦) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅) ↔ (⦋𝐵 / 𝑦⦌⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ⦋𝐵 / 𝑦⦌⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅))) |
31 | 7 | ovmpt4g 5945 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑥𝐹𝑦) = 𝑅) |
32 | 31 | 3expia 1187 |
. . . . 5
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 ∈ V → (𝑥𝐹𝑦) = 𝑅)) |
33 | 2, 3, 4, 13, 20, 25, 30, 32 | vtocl2gaf 2779 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (⦋𝐵 / 𝑦⦌⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ⦋𝐵 / 𝑦⦌⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅)) |
34 | | csbcomg 3054 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⦋𝐴 / 𝑥⦌⦋𝐵 / 𝑦⦌𝑅 = ⦋𝐵 / 𝑦⦌⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅) |
35 | 34 | eleq1d 2226 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (⦋𝐴 / 𝑥⦌⦋𝐵 / 𝑦⦌𝑅 ∈ V ↔ ⦋𝐵 / 𝑦⦌⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V)) |
36 | 34 | eqeq2d 2169 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐴𝐹𝐵) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌⦋𝐵 / 𝑦⦌𝑅 ↔ (𝐴𝐹𝐵) = ⦋𝐵 / 𝑦⦌⦋𝐴 / 𝑥⦌𝑅)) |
37 | 33, 35, 36 | 3imtr4d 202 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (⦋𝐴 / 𝑥⦌⦋𝐵 / 𝑦⦌𝑅 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌⦋𝐵 / 𝑦⦌𝑅)) |
38 | 1, 37 | syl5 32 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (⦋𝐴 / 𝑥⦌⦋𝐵 / 𝑦⦌𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐴𝐹𝐵) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌⦋𝐵 / 𝑦⦌𝑅)) |
39 | 38 | 3impia 1182 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ⦋𝐴 / 𝑥⦌⦋𝐵 / 𝑦⦌𝑅 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐹𝐵) = ⦋𝐴 / 𝑥⦌⦋𝐵 / 𝑦⦌𝑅) |