Theorem nnawordex 6432

Description: Equivalence for weak ordering of natural numbers. (Contributed by NM, 8-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnawordex	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nnawordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6397	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
2	1	3adant3 1002	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
3		nnaordex 6431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
4		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
5	4	reximi 2532	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
6	3, 5	syl6bi 162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
7	6	3adant3 1002	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
8		nna0 6378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
9	8	3ad2ant1 1003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
10		eqeq2 2150	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 +o ∅) = 𝐴 ↔ (𝐴 +o ∅) = 𝐵))
11	9, 10	syl5ibcom 154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 +o ∅) = 𝐵))
12		peano1 4516	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ω
13		oveq2 5790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o ∅))
14	13	eqeq1d 2149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) = 𝐵))
15	14	rspcev 2793	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ (𝐴 +o ∅) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
16	12, 15	mpan 421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 +o ∅) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
17	11, 16	syl6 33	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
18		nntri1 6400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
19	18	biimp3a 1324	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
20	19	pm2.21d 609	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
21	7, 17, 20	3jaod 1283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
22	2, 21	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
23	22	3expia 1184	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
24		nnaword1 6417	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝑥))
25		sseq2 3126	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → (𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝑥) ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
26	24, 25	syl5ibcom 154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
27	26	rexlimdva 2552	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
28	27	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
29	23, 28	impbid 128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 962   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418   ⊆ wss 3076  ∅c0 3368  ωcom 4512  (class class class)co 5782   +_o coa 6318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-oadd 6325

This theorem is referenced by:  prarloclemn  7331