Theorem nnawordex 6596

Description: Equivalence for weak ordering of natural numbers. (Contributed by NM, 8-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnawordex	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nnawordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6560	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
2	1	3adant3 1019	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
3		nnaordex 6595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
4		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
5	4	reximi 2594	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
6	3, 5	biimtrdi 163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
7	6	3adant3 1019	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
8		nna0 6541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
9	8	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
10		eqeq2 2206	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 +o ∅) = 𝐴 ↔ (𝐴 +o ∅) = 𝐵))
11	9, 10	syl5ibcom 155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 +o ∅) = 𝐵))
12		peano1 4631	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ ω
13		oveq2 5933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o ∅))
14	13	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) = 𝐵))
15	14	rspcev 2868	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ (𝐴 +o ∅) = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
16	12, 15	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 +o ∅) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
17	11, 16	syl6 33	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
18		nntri1 6563	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
19	18	biimp3a 1356	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
20	19	pm2.21d 620	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
21	7, 17, 20	3jaod 1315	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
22	2, 21	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
23	22	3expia 1207	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
24		nnaword1 6580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝑥))
25		sseq2 3208	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → (𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝑥) ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
26	24, 25	syl5ibcom 155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
27	26	rexlimdva 2614	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
28	27	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
29	23, 28	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 979   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476   ⊆ wss 3157  ∅c0 3451  ωcom 4627  (class class class)co 5925   +_o coa 6480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-1o 6483  df-oadd 6487

This theorem is referenced by:  prarloclemn  7583