Theorem numma 9365

Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numma.8	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
numma.9	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
numma.10	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
numma	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.6	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2	1	oveq1i 5852	. . 3 ⊢ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃)
3		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
4	2, 3	oveq12i 5854	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
5		numma.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 9126	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
7		numma.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 9126	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9		numma.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 9126	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
11	8, 10	mulcli 7904	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
12		numma.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
13	12	nn0cni 9126	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
14	6, 11, 13	adddii 7909	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
15	6, 8, 10	mulassi 7908	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) = (𝑇 · (𝐴 · 𝑃))
16	15	oveq1i 5852	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
17	14, 16	eqtr4i 2189	. . . 4 ⊢ (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶))
18	17	oveq1i 5852	. . 3 ⊢ ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
19	6, 8	mulcli 7904	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
20		numma.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
21	20	nn0cni 9126	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
22	19, 21, 10	adddiri 7910	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃))
23	22	oveq1i 5852	. . . 4 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
24	19, 10	mulcli 7904	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) ∈ ℂ
25	6, 13	mulcli 7904	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℂ
26	21, 10	mulcli 7904	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
27		numma.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 9126	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
29	24, 25, 26, 28	add4i 8063	. . . 4 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
30	23, 29	eqtr4i 2189	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
31	18, 30	eqtr4i 2189	. 2 ⊢ ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
32		numma.9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
33	32	oveq2i 5853	. . 3 ⊢ (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (𝑇 · 𝐸)
34		numma.10	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
35	33, 34	oveq12i 5854	. 2 ⊢ ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
36	4, 31, 35	3eqtr2i 2192	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842   + caddc 7756   · cmul 7758  ℕ₀cn0 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-rnegex 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-inn 8858  df-n0 9115

This theorem is referenced by:  nummac  9366  numadd  9368  decma  9372