ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numma GIF version

Theorem numma 9426
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers ๐‘€ and ๐‘ against a fixed multiplicand ๐‘ƒ (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
numma.2 ๐ด โˆˆ โ„•0
numma.3 ๐ต โˆˆ โ„•0
numma.4 ๐ถ โˆˆ โ„•0
numma.5 ๐ท โˆˆ โ„•0
numma.6 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
numma.7 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
numma.8 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
numma.9 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) = ๐ธ
numma.10 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ๐น
Assertion
Ref Expression
numma ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)

Proof of Theorem numma
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . 4 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
21oveq1i 5884 . . 3 (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ)
3 numma.7 . . 3 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
42, 3oveq12i 5886 . 2 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท))
5 numma.1 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
65nn0cni 9187 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ โ„‚
7 numma.2 . . . . . . . 8 ๐ด โˆˆ โ„•0
87nn0cni 9187 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„‚
9 numma.8 . . . . . . . 8 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
109nn0cni 9187 . . . . . . 7 ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚
118, 10mulcli 7961 . . . . . 6 (๐ด ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚
12 numma.4 . . . . . . 7 ๐ถ โˆˆ โ„•0
1312nn0cni 9187 . . . . . 6 ๐ถ โˆˆ โ„‚
146, 11, 13adddii 7966 . . . . 5 (๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) = ((๐‘‡ ยท (๐ด ยท ๐‘ƒ)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ))
156, 8, 10mulassi 7965 . . . . . 6 ((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) = (๐‘‡ ยท (๐ด ยท ๐‘ƒ))
1615oveq1i 5884 . . . . 5 (((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) = ((๐‘‡ ยท (๐ด ยท ๐‘ƒ)) + (๐‘‡ ยท ๐ถ))
1714, 16eqtr4i 2201 . . . 4 (๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) = (((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐‘‡ ยท ๐ถ))
1817oveq1i 5884 . . 3 ((๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท)) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท))
196, 8mulcli 7961 . . . . . 6 (๐‘‡ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚
20 numma.3 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„•0
2120nn0cni 9187 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„‚
2219, 21, 10adddiri 7967 . . . . 5 (((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ) = (((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐ต ยท ๐‘ƒ))
2322oveq1i 5884 . . . 4 ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐ต ยท ๐‘ƒ)) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท))
2419, 10mulcli 7961 . . . . 5 ((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚
256, 13mulcli 7961 . . . . 5 (๐‘‡ ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚
2621, 10mulcli 7961 . . . . 5 (๐ต ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚
27 numma.5 . . . . . 6 ๐ท โˆˆ โ„•0
2827nn0cni 9187 . . . . 5 ๐ท โˆˆ โ„‚
2924, 25, 26, 28add4i 8121 . . . 4 ((((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท)) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐ต ยท ๐‘ƒ)) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท))
3023, 29eqtr4i 2201 . . 3 ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) ยท ๐‘ƒ) + (๐‘‡ ยท ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท))
3118, 30eqtr4i 2201 . 2 ((๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท)) = ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) ยท ๐‘ƒ) + ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท))
32 numma.9 . . . 4 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ) = ๐ธ
3332oveq2i 5885 . . 3 (๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) = (๐‘‡ ยท ๐ธ)
34 numma.10 . . 3 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ๐น
3533, 34oveq12i 5886 . 2 ((๐‘‡ ยท ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + ๐ถ)) + ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท)) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
364, 31, 353eqtr2i 2204 1 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  (class class class)co 5874   + caddc 7813   ยท cmul 7815  โ„•0cn0 9175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-rnegex 7919
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877  df-inn 8919  df-n0 9176
This theorem is referenced by:  nummac  9427  numadd  9429  decma  9433
  Copyright terms: Public domain W3C validator