Theorem numma 9589

Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numma.8	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
numma.9	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
numma.10	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
numma	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.6	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2	1	oveq1i 5984	. . 3 ⊢ (𝑀 · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃)
3		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
4	2, 3	oveq12i 5986	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
5		numma.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 9349	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
7		numma.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 9349	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9		numma.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 9349	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
11	8, 10	mulcli 8119	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
12		numma.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
13	12	nn0cni 9349	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
14	6, 11, 13	adddii 8124	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
15	6, 8, 10	mulassi 8123	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) = (𝑇 · (𝐴 · 𝑃))
16	15	oveq1i 5984	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
17	14, 16	eqtr4i 2233	. . . 4 ⊢ (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶))
18	17	oveq1i 5984	. . 3 ⊢ ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
19	6, 8	mulcli 8119	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
20		numma.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
21	20	nn0cni 9349	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
22	19, 21, 10	adddiri 8125	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃))
23	22	oveq1i 5984	. . . 4 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
24	19, 10	mulcli 8119	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) ∈ ℂ
25	6, 13	mulcli 8119	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℂ
26	21, 10	mulcli 8119	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
27		numma.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 9349	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
29	24, 25, 26, 28	add4i 8279	. . . 4 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
30	23, 29	eqtr4i 2233	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
31	18, 30	eqtr4i 2233	. 2 ⊢ ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
32		numma.9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
33	32	oveq2i 5985	. . 3 ⊢ (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (𝑇 · 𝐸)
34		numma.10	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
35	33, 34	oveq12i 5986	. 2 ⊢ ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
36	4, 31, 35	3eqtr2i 2236	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  (class class class)co 5974   + caddc 7970   · cmul 7972  ℕ₀cn0 9337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1re 8061  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-rnegex 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-v 2781  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-iota 5254  df-fv 5302  df-ov 5977  df-inn 9079  df-n0 9338

This theorem is referenced by:  nummac  9590  numadd  9592  decma  9596