ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nummac GIF version

Theorem nummac 9495
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
nummac.8 𝑃 ∈ ℕ0
nummac.9 𝐹 ∈ ℕ0
nummac.10 𝐺 ∈ ℕ0
nummac.11 ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
nummac.12 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
Assertion
Ref Expression
nummac ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem nummac
StepHypRef Expression
1 numma.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
21nn0cni 9255 . . . 4 𝑇 ∈ ℂ
3 numma.2 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℕ0
43nn0cni 9255 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℂ
5 nummac.8 . . . . . . . . 9 𝑃 ∈ ℕ0
65nn0cni 9255 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ ℂ
74, 6mulcli 8026 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
8 numma.4 . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℕ0
98nn0cni 9255 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℂ
10 nummac.10 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ ℕ0
1110nn0cni 9255 . . . . . . 7 𝐺 ∈ ℂ
127, 9, 11addassi 8029 . . . . . 6 (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺))
13 nummac.11 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
1412, 13eqtri 2214 . . . . 5 (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸
157, 9addcli 8025 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ∈ ℂ
1615, 11addcli 8025 . . . . 5 (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) ∈ ℂ
1714, 16eqeltrri 2267 . . . 4 𝐸 ∈ ℂ
182, 17, 11subdii 8428 . . 3 (𝑇 · (𝐸𝐺)) = ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺))
1918oveq1i 5929 . 2 ((𝑇 · (𝐸𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
20 numma.3 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
21 numma.5 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
22 numma.6 . . 3 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
23 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
2417, 11, 15subadd2i 8309 . . . . 5 ((𝐸𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸)
2514, 24mpbir 146 . . . 4 (𝐸𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)
2625eqcomi 2197 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = (𝐸𝐺)
27 nummac.12 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
281, 3, 20, 8, 21, 22, 23, 5, 26, 27numma 9494 . 2 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · (𝐸𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
292, 17mulcli 8026 . . . . 5 (𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ
302, 11mulcli 8026 . . . . 5 (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ
31 npcan 8230 . . . . 5 (((𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ) → (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸))
3229, 30, 31mp2an 426 . . . 4 (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸)
3332oveq1i 5929 . . 3 ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
3429, 30subcli 8297 . . . 4 ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) ∈ ℂ
35 nummac.9 . . . . 5 𝐹 ∈ ℕ0
3635nn0cni 9255 . . . 4 𝐹 ∈ ℂ
3734, 30, 36addassi 8029 . . 3 ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
3833, 37eqtr3i 2216 . 2 ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
3919, 28, 383eqtr4i 2224 1 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1364  wcel 2164  (class class class)co 5919  cc 7872   + caddc 7877   · cmul 7879  cmin 8192  0cn0 9243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sub 8194  df-inn 8985  df-n0 9244
This theorem is referenced by:  numma2c  9496  numaddc  9498  nummul1c  9499  decmac  9502
  Copyright terms: Public domain W3C validator