ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nummac GIF version

Theorem nummac 9219
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
nummac.8 𝑃 ∈ ℕ0
nummac.9 𝐹 ∈ ℕ0
nummac.10 𝐺 ∈ ℕ0
nummac.11 ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
nummac.12 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
Assertion
Ref Expression
nummac ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem nummac
StepHypRef Expression
1 numma.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
21nn0cni 8982 . . . 4 𝑇 ∈ ℂ
3 numma.2 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℕ0
43nn0cni 8982 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℂ
5 nummac.8 . . . . . . . . 9 𝑃 ∈ ℕ0
65nn0cni 8982 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ ℂ
74, 6mulcli 7764 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
8 numma.4 . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℕ0
98nn0cni 8982 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℂ
10 nummac.10 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ ℕ0
1110nn0cni 8982 . . . . . . 7 𝐺 ∈ ℂ
127, 9, 11addassi 7767 . . . . . 6 (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺))
13 nummac.11 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
1412, 13eqtri 2158 . . . . 5 (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸
157, 9addcli 7763 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ∈ ℂ
1615, 11addcli 7763 . . . . 5 (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) ∈ ℂ
1714, 16eqeltrri 2211 . . . 4 𝐸 ∈ ℂ
182, 17, 11subdii 8162 . . 3 (𝑇 · (𝐸𝐺)) = ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺))
1918oveq1i 5777 . 2 ((𝑇 · (𝐸𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
20 numma.3 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
21 numma.5 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
22 numma.6 . . 3 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
23 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
2417, 11, 15subadd2i 8043 . . . . 5 ((𝐸𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸)
2514, 24mpbir 145 . . . 4 (𝐸𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)
2625eqcomi 2141 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = (𝐸𝐺)
27 nummac.12 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
281, 3, 20, 8, 21, 22, 23, 5, 26, 27numma 9218 . 2 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · (𝐸𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
292, 17mulcli 7764 . . . . 5 (𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ
302, 11mulcli 7764 . . . . 5 (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ
31 npcan 7964 . . . . 5 (((𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ) → (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸))
3229, 30, 31mp2an 422 . . . 4 (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸)
3332oveq1i 5777 . . 3 ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
3429, 30subcli 8031 . . . 4 ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) ∈ ℂ
35 nummac.9 . . . . 5 𝐹 ∈ ℕ0
3635nn0cni 8982 . . . 4 𝐹 ∈ ℂ
3734, 30, 36addassi 7767 . . 3 ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
3833, 37eqtr3i 2160 . 2 ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
3919, 28, 383eqtr4i 2168 1 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1331  wcel 1480  (class class class)co 5767  cc 7611   + caddc 7616   · cmul 7618  cmin 7926  0cn0 8970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928  df-inn 8714  df-n0 8971
This theorem is referenced by:  numma2c  9220  numaddc  9222  nummul1c  9223  decmac  9226
  Copyright terms: Public domain W3C validator