Theorem nummac 9753

Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
nummac.8	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
nummac.9	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
nummac.10	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
nummac.11	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
nummac.12	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
nummac	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem nummac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 9508	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
3		numma.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 9508	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		nummac.8	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 9508	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
7	4, 6	mulcli 8279	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
8		numma.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 9508	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
10		nummac.10	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 9508	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
12	7, 9, 11	addassi 8282	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺))
13		nummac.11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
14	12, 13	eqtri 2253	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸
15	7, 9	addcli 8278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ∈ ℂ
16	15, 11	addcli 8278	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) ∈ ℂ
17	14, 16	eqeltrri 2306	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ ℂ
18	2, 17, 11	subdii 8680	. . 3 ⊢ (𝑇 · (𝐸 − 𝐺)) = ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺))
19	18	oveq1i 6060	. 2 ⊢ ((𝑇 · (𝐸 − 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
20		numma.3	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
21		numma.5	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
22		numma.6	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
23		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
24	17, 11, 15	subadd2i 8561	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 − 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸)
25	14, 24	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (𝐸 − 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)
26	25	eqcomi 2236	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = (𝐸 − 𝐺)
27		nummac.12	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
28	1, 3, 20, 8, 21, 22, 23, 5, 26, 27	numma 9752	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · (𝐸 − 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
29	2, 17	mulcli 8279	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ
30	2, 11	mulcli 8279	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ
31		npcan 8482	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ) → (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸))
32	29, 30, 31	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸)
33	32	oveq1i 6060	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
34	29, 30	subcli 8549	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) ∈ ℂ
35		nummac.9	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
36	35	nn0cni 9508	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℂ
37	34, 30, 36	addassi 8282	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
38	33, 37	eqtr3i 2255	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
39	19, 28, 38	3eqtr4i 2263	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050  ℂcc 8125   + caddc 8130   · cmul 8132   − cmin 8444  ℕ₀cn0 9496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446  df-inn 9238  df-n0 9497

This theorem is referenced by:  numma2c  9754  numaddc  9756  nummul1c  9757  decmac  9760