Theorem nummac 9226

Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
nummac.8	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
nummac.9	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
nummac.10	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
nummac.11	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
nummac.12	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
nummac	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem nummac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 8989	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
3		numma.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 8989	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		nummac.8	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 8989	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
7	4, 6	mulcli 7771	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
8		numma.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 8989	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
10		nummac.10	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 8989	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
12	7, 9, 11	addassi 7774	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺))
13		nummac.11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
14	12, 13	eqtri 2160	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸
15	7, 9	addcli 7770	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ∈ ℂ
16	15, 11	addcli 7770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) ∈ ℂ
17	14, 16	eqeltrri 2213	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ ℂ
18	2, 17, 11	subdii 8169	. . 3 ⊢ (𝑇 · (𝐸 − 𝐺)) = ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺))
19	18	oveq1i 5784	. 2 ⊢ ((𝑇 · (𝐸 − 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
20		numma.3	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
21		numma.5	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
22		numma.6	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
23		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
24	17, 11, 15	subadd2i 8050	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 − 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸)
25	14, 24	mpbir 145	. . . 4 ⊢ (𝐸 − 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)
26	25	eqcomi 2143	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = (𝐸 − 𝐺)
27		nummac.12	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
28	1, 3, 20, 8, 21, 22, 23, 5, 26, 27	numma 9225	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · (𝐸 − 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
29	2, 17	mulcli 7771	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ
30	2, 11	mulcli 7771	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ
31		npcan 7971	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ) → (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸))
32	29, 30, 31	mp2an 422	. . . 4 ⊢ (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸)
33	32	oveq1i 5784	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
34	29, 30	subcli 8038	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) ∈ ℂ
35		nummac.9	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
36	35	nn0cni 8989	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℂ
37	34, 30, 36	addassi 7774	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
38	33, 37	eqtr3i 2162	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
39	19, 28, 38	3eqtr4i 2170	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5774  ℂcc 7618   + caddc 7623   · cmul 7625   − cmin 7933  ℕ₀cn0 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935  df-inn 8721  df-n0 8978

This theorem is referenced by:  numma2c  9227  numaddc  9229  nummul1c  9230  decmac  9233