Theorem plycjlemc 15442

Description: Lemma for plycj 15443. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycjlemc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
plycjlem.2	⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycjlemc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
plycjlemc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plycjlemc.p	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
plycjlemc	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem plycjlemc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycjlem.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
2		cjcl 11367	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
4		cjf 11366	. . . . . 6 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
5	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∗:ℂ⟶ℂ)
6	5	feqmptd 5689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∗ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑧)))
7		0zd 9466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8		plycjlemc.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 9575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	7, 9	fzfigd 10661	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
11	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
12		plycjlemc.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
13		plycjlemc.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
14		plybss 15415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
16		0cn 8146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
17		snssi 3812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℂ → {0} ⊆ ℂ)
18	16, 17	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
19	15, 18	unssd 3380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
20	12, 19	fssd 5486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
21	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
22		elfznn0 10318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23	22	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24	21, 23	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
25	24	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
26		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
27	22	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	26, 27	expcld 10903	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
29	25, 28	mulcld 8175	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) ∈ ℂ)
30	11, 29	fsumcl 11919	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) ∈ ℂ)
31		plycjlemc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
32		oveq1 6014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧↑𝑘) = (𝑥↑𝑘))
33	32	oveq2d 6023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
34	33	sumeq2sdv 11889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
35	34	cbvmptv 4180	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
36	31, 35	eqtrdi 2278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
37		fveq2 5629	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) → (∗‘𝑧) = (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
38	30, 36, 6, 37	fmptco 5803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))))
39		oveq1 6014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → (𝑥↑𝑘) = ((∗‘𝑧)↑𝑘))
40	39	oveq2d 6023	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))
41	40	sumeq2sdv 11889	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))
42	41	fveq2d 5633	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))) = (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))))
43	3, 6, 38, 42	fmptco 5803	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))))
44	1, 43	eqtrid 2274	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))))
45	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
46	24	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
47	2	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
48	22	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49	47, 48	expcld 10903	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗‘𝑧)↑𝑘) ∈ ℂ)
50	46, 49	mulcld 8175	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)) ∈ ℂ)
51	45, 50	fsumcj 11993	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))))
52	46, 49	cjmuld 11485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = ((∗‘(𝐴‘𝑘)) · (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘))))
53	21	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
54		fvco3 5707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
55	53, 48, 54	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
56	47, 48	cjexpd 11477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)) = ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘))
57		cjcj 11402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝑧)) = 𝑧)
58	57	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘(∗‘𝑧)) = 𝑧)
59	58	oveq1d 6022	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘) = (𝑧↑𝑘))
60	56, 59	eqtr2d 2263	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑧↑𝑘) = (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)))
61	55, 60	oveq12d 6025	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((∗‘(𝐴‘𝑘)) · (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘))))
62	52, 61	eqtr4d 2265	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
63	62	sumeq2dv 11887	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
64	51, 63	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
65	64	mpteq2dva 4174	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
66	44, 65	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3195   ⊆ wss 3197  {csn 3666   ↦ cmpt 4145   ∘ ccom 4723  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Fincfn 6895  ℂcc 8005  0cc0 8007   · cmul 8012  ℕ₀cn0 9377  ...cfz 10212  ↑cexp 10768  ∗ccj 11358  Σcsu 11872  Polycply 15410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-ihash 11006  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873  df-ply 15412

This theorem is referenced by:  plycj  15443