Theorem plycjlemc 15844

Description: Lemma for plycj 15845. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycjlemc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
plycjlem.2	⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycjlemc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
plycjlemc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plycjlemc.p	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
plycjlemc	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem plycjlemc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycjlem.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
2		cjcl 11596	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
4		cjf 11595	. . . . . 6 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
5	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∗:ℂ⟶ℂ)
6	5	feqmptd 5753	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∗ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑧)))
7		0zd 9639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8		plycjlemc.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 9749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	7, 9	fzfigd 10851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
11	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
12		plycjlemc.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
13		plycjlemc.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
14		plybss 15817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
16		0cn 8312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
17		snssi 3857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℂ → {0} ⊆ ℂ)
18	16, 17	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
19	15, 18	unssd 3405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
20	12, 19	fssd 5545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
21	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
22		elfznn0 10504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23	22	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24	21, 23	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
25	24	adantlr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
26		simplr 533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
27	22	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	26, 27	expcld 11094	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
29	25, 28	mulcld 8340	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) ∈ ℂ)
30	11, 29	fsumcl 12150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) ∈ ℂ)
31		plycjlemc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
32		oveq1 6086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧↑𝑘) = (𝑥↑𝑘))
33	32	oveq2d 6095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
34	33	sumeq2sdv 12119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
35	34	cbvmptv 4225	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
36	31, 35	eqtrdi 2287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
37		fveq2 5693	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) → (∗‘𝑧) = (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
38	30, 36, 6, 37	fmptco 5868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))))
39		oveq1 6086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → (𝑥↑𝑘) = ((∗‘𝑧)↑𝑘))
40	39	oveq2d 6095	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))
41	40	sumeq2sdv 12119	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))
42	41	fveq2d 5697	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝑧) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))) = (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))))
43	3, 6, 38, 42	fmptco 5868	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))))
44	1, 43	eqtrid 2283	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))))
45	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
46	24	adantlr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
47	2	ad2antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
48	22	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49	47, 48	expcld 11094	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗‘𝑧)↑𝑘) ∈ ℂ)
50	46, 49	mulcld 8340	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)) ∈ ℂ)
51	45, 50	fsumcj 12224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))))
52	46, 49	cjmuld 11715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = ((∗‘(𝐴‘𝑘)) · (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘))))
53	21	adantlr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
54		fvco3 5773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
55	53, 48, 54	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴‘𝑘)))
56	47, 48	cjexpd 11707	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)) = ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘))
57		cjcj 11631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝑧)) = 𝑧)
58	57	ad2antlr 493	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘(∗‘𝑧)) = 𝑧)
59	58	oveq1d 6094	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘) = (𝑧↑𝑘))
60	56, 59	eqtr2d 2272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑧↑𝑘) = (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)))
61	55, 60	oveq12d 6097	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((∗‘(𝐴‘𝑘)) · (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘))))
62	52, 61	eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
63	62	sumeq2dv 12117	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(∗‘((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
64	51, 63	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
65	64	mpteq2dva 4219	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
66	44, 65	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  {csn 3708   ↦ cmpt 4190   ∘ ccom 4776  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Fincfn 7016  ℂcc 8171  0cc0 8173   · cmul 8178  ℕ₀cn0 9546  ...cfz 10394  ↑cexp 10958  ∗ccj 11587  Σcsu 12102  Polycply 15812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-ihash 11198  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103  df-ply 15814

This theorem is referenced by:  plycj  15845