Theorem plycn 14998

Description: A polynomial is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) Avoid ax-mulf 8002. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
plycn	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Proof of Theorem plycn

Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑘 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elply 14970	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
2	1	simprbi 275	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
3		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
4		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopon 14776	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
7		0zd 9338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 0 ∈ ℤ)
8		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 9446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 𝑑 ∈ ℤ)
10	7, 9	fzfigd 10523	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (0...𝑑) ∈ Fin)
11	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12		elmapi 6729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) → 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
13	12	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
14		plybss 14969	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
16		0cnd 8019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 0 ∈ ℂ)
17	16	snssd 3767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → {0} ⊆ ℂ)
18	15, 17	unssd 3339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
19	13, 18	fssd 5420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 𝑎:ℕ0⟶ℂ)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → 𝑎:ℕ0⟶ℂ)
21		elfznn0 10189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑑) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23	20, 22	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (𝑎‘𝑘) ∈ ℂ)
24	11, 11, 23	cnmptc 14518	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑎‘𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
25	4	expcn 14805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
26	22, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
27	4	mpomulcn 14802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
28	27	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
29		oveq12 5931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = (𝑎‘𝑘) ∧ 𝑣 = (𝑧↑𝑘)) → (𝑢 · 𝑣) = ((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
30	11, 24, 26, 11, 11, 28, 29	cnmpt12 14523	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
31	4, 6, 10, 30	fsumcn 14804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32	31	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
33	3, 32	eqeltrd 2273	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))) → 𝐹 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
34	4	cncfcn1 14831	. . . . 5 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
35	33, 34	eleqtrrdi 2290	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
36	35	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
37	36	rexlimdvva 2622	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
38	2, 37	mpd 13	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476   ∪ cun 3155   ⊆ wss 3157  {csn 3622   ↦ cmpt 4094  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   ∈ cmpo 5924   ↑_𝑚 cmap 6707  ℂcc 7877  0cc0 7879   · cmul 7884  ℕ₀cn0 9249  ...cfz 10083  ↑cexp 10630  Σcsu 11518  TopOpenctopn 12911  ℂ_fldccnfld 14112  TopOnctopon 14246   Cn ccn 14421   ×_t ctx 14488  –cn→ccncf 14806  Polycply 14964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-addf 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-map 6709  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-starv 12770  df-tset 12774  df-ple 12775  df-ds 12777  df-unif 12778  df-rest 12912  df-topn 12913  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-fg 14105  df-metu 14106  df-cnfld 14113  df-top 14234  df-topon 14247  df-topsp 14267  df-bases 14279  df-cn 14424  df-cnp 14425  df-tx 14489  df-xms 14575  df-ms 14576  df-cncf 14807  df-ply 14966

This theorem is referenced by: (None)