Theorem plycn 14932

Description: A polynomial is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) Avoid ax-mulf 7997. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
plycn	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Proof of Theorem plycn

Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑘 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elply 14905	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
2	1	simprbi 275	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
3		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
4		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopon 14719	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
7		0zd 9332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 0 ∈ ℤ)
8		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 9440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 𝑑 ∈ ℤ)
10	7, 9	fzfigd 10505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (0...𝑑) ∈ Fin)
11	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12		elmapi 6726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) → 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
13	12	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
14		plybss 14904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
16		0cnd 8014	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 0 ∈ ℂ)
17	16	snssd 3764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → {0} ⊆ ℂ)
18	15, 17	unssd 3336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
19	13, 18	fssd 5417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 𝑎:ℕ0⟶ℂ)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → 𝑎:ℕ0⟶ℂ)
21		elfznn0 10183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑑) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23	20, 22	ffvelcdmd 5695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (𝑎‘𝑘) ∈ ℂ)
24	11, 11, 23	cnmptc 14461	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑎‘𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
25	4	expcn 14748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
26	22, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
27	4	mpomulcn 14745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
28	27	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
29		oveq12 5928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = (𝑎‘𝑘) ∧ 𝑣 = (𝑧↑𝑘)) → (𝑢 · 𝑣) = ((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
30	11, 24, 26, 11, 11, 28, 29	cnmpt12 14466	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
31	4, 6, 10, 30	fsumcn 14747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32	31	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
33	3, 32	eqeltrd 2270	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))) → 𝐹 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
34	4	cncfcn1 14774	. . . . 5 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
35	33, 34	eleqtrrdi 2287	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
36	35	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
37	36	rexlimdvva 2619	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
38	2, 37	mpd 13	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473   ∪ cun 3152   ⊆ wss 3154  {csn 3619   ↦ cmpt 4091  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919   ∈ cmpo 5921   ↑_𝑚 cmap 6704  ℂcc 7872  0cc0 7874   · cmul 7879  ℕ₀cn0 9243  ...cfz 10077  ↑cexp 10612  Σcsu 11499  TopOpenctopn 12854  ℂ_fldccnfld 14055  TopOnctopon 14189   Cn ccn 14364   ×_t ctx 14431  –cn→ccncf 14749  Polycply 14899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994  ax-addf 7996

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-map 6706  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-dec 9452  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500  df-struct 12623  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-starv 12713  df-tset 12717  df-ple 12718  df-ds 12720  df-unif 12721  df-rest 12855  df-topn 12856  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-met 14044  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-fg 14048  df-metu 14049  df-cnfld 14056  df-top 14177  df-topon 14190  df-topsp 14210  df-bases 14222  df-cn 14367  df-cnp 14368  df-tx 14432  df-xms 14518  df-ms 14519  df-cncf 14750  df-ply 14901

This theorem is referenced by: (None)