Theorem plycn 15401

Description: A polynomial is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) Avoid ax-mulf 8090. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
plycn	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Proof of Theorem plycn

Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑘 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elply 15373	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
2	1	simprbi 275	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
3		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
4		eqid 2209	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopon 15179	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
7		0zd 9426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 0 ∈ ℤ)
8		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 9535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 𝑑 ∈ ℤ)
10	7, 9	fzfigd 10620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (0...𝑑) ∈ Fin)
11	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12		elmapi 6787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) → 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
13	12	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
14		plybss 15372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
16		0cnd 8107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 0 ∈ ℂ)
17	16	snssd 3792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → {0} ⊆ ℂ)
18	15, 17	unssd 3360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
19	13, 18	fssd 5462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → 𝑎:ℕ0⟶ℂ)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → 𝑎:ℕ0⟶ℂ)
21		elfznn0 10278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑑) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23	20, 22	ffvelcdmd 5744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (𝑎‘𝑘) ∈ ℂ)
24	11, 11, 23	cnmptc 14921	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑎‘𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
25	4	expcn 15208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
26	22, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
27	4	mpomulcn 15205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
28	27	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
29		oveq12 5983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 = (𝑎‘𝑘) ∧ 𝑣 = (𝑧↑𝑘)) → (𝑢 · 𝑣) = ((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
30	11, 24, 26, 11, 11, 28, 29	cnmpt12 14926	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑑)) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
31	4, 6, 10, 30	fsumcn 15207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
32	31	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
33	3, 32	eqeltrd 2286	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))) → 𝐹 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
34	4	cncfcn1 15234	. . . . 5 ⊢ (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
35	33, 34	eleqtrrdi 2303	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
36	35	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
37	36	rexlimdvva 2636	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑑)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
38	2, 37	mpd 13	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∃wrex 2489   ∪ cun 3175   ⊆ wss 3177  {csn 3646   ↦ cmpt 4124  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974   ∈ cmpo 5976   ↑_𝑚 cmap 6765  ℂcc 7965  0cc0 7967   · cmul 7972  ℕ₀cn0 9337  ...cfz 10172  ↑cexp 10727  Σcsu 11830  TopOpenctopn 13239  ℂ_fldccnfld 14485  TopOnctopon 14649   Cn ccn 14824   ×_t ctx 14891  –cn→ccncf 15209  Polycply 15367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087  ax-addf 8089

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 835  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-frec 6507  df-1o 6532  df-oadd 6536  df-er 6650  df-map 6767  df-en 6858  df-dom 6859  df-fin 6860  df-sup 7119  df-inf 7120  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-xneg 9936  df-xadd 9937  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-ihash 10965  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756  df-sumdc 11831  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-starv 13091  df-tset 13095  df-ple 13096  df-ds 13098  df-unif 13099  df-rest 13240  df-topn 13241  df-topgen 13259  df-psmet 14472  df-xmet 14473  df-met 14474  df-bl 14475  df-mopn 14476  df-fg 14478  df-metu 14479  df-cnfld 14486  df-top 14637  df-topon 14650  df-topsp 14670  df-bases 14682  df-cn 14827  df-cnp 14828  df-tx 14892  df-xms 14978  df-ms 14979  df-cncf 15210  df-ply 15369

This theorem is referenced by: (None)