Theorem plyreres 15010

Description: Real-coefficient polynomials restrict to real functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyreres	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem plyreres

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plybss 14979	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
2		plyf 14983	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3		ffn 5408	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
4		fnssresb 5371	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℂ → ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
5	2, 3, 4	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
6	1, 5	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ)
7		fvres 5583	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) = (𝐹‘𝑎))
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) = (𝐹‘𝑎))
9		recn 8014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
10		ffvelcdm 5696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
11	2, 9, 10	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
12		plyrecj 15009	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐹‘𝑎)) = (𝐹‘(∗‘𝑎)))
13	9, 12	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐹‘𝑎)) = (𝐹‘(∗‘𝑎)))
14		cjre 11049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (∗‘𝑎) = 𝑎)
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘𝑎) = 𝑎)
16	15	fveq2d 5563	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹‘(∗‘𝑎)) = (𝐹‘𝑎))
17	13, 16	eqtrd 2229	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐹‘𝑎)) = (𝐹‘𝑎))
18	11, 17	cjrebd 11113	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
19	8, 18	eqeltrd 2273	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ)
20	19	ralrimiva 2570	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ∀𝑎 ∈ ℝ ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ)
21		fnfvrnss 5723	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ((𝐹 ↾ ℝ)‘𝑎) ∈ ℝ) → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
22	6, 20, 21	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
23		df-f 5263	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ↔ ((𝐹 ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℝ))
24	6, 22, 23	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ⊆ wss 3157  ran crn 4665   ↾ cres 4666   Fn wfn 5254  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  ℂcc 7879  ℝcr 7880  ∗ccj 11006  Polycply 14974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-irdg 6429  df-frec 6450  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6593  df-map 6710  df-en 6801  df-dom 6802  df-fin 6803  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-ihash 10870  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-clim 11446  df-sumdc 11521  df-ply 14976

This theorem is referenced by: (None)