Theorem plyf 14916

Description: A polynomial is a function on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyf	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)

Proof of Theorem plyf

Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elply 14913	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
2	1	simprbi 275	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
3		0zd 9332	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℤ)
4		simplrl 535	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 9440	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑛 ∈ ℤ)
6	3, 5	fzfigd 10505	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑛) ∈ Fin)
7		plybss 14912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		0cnd 8014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0 ∈ ℂ)
9	8	snssd 3764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → {0} ⊆ ℂ)
10	7, 9	unssd 3336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
12	11	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
13		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
14		cnex 7998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ∈ V
15		ssexg 4169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
16	11, 14, 15	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
17		nn0ex 9249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
18		elmapg 6717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
19	16, 17, 18	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
20	13, 19	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
21		elfznn0 10183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22		ffvelcdm 5692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
23	20, 21, 22	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑎‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
24	12, 23	sseldd 3181	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑎‘𝑘) ∈ ℂ)
25		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
26		expcl 10631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
27	25, 21, 26	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
28	24, 27	mulcld 8042	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
29	6, 28	fsumcl 11546	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
30	29	fmpttd 5714	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))):ℂ⟶ℂ)
31		feq1 5387	. . . 4 ⊢ (𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → (𝐹:ℂ⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))):ℂ⟶ℂ))
32	30, 31	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ))
33	32	rexlimdvva 2619	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ))
34	2, 33	mpd 13	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473  Vcvv 2760   ∪ cun 3152   ⊆ wss 3154  {csn 3619   ↦ cmpt 4091  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919   ↑_𝑚 cmap 6704  ℂcc 7872  0cc0 7874   · cmul 7879  ℕ₀cn0 9243  ...cfz 10077  ↑cexp 10612  Σcsu 11499  Polycply 14907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-map 6706  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500  df-ply 14909

This theorem is referenced by:  plysub  14932  plycolemc  14936  plyco  14937  plyreres  14942