Theorem plyf 15253

Description: A polynomial is a function on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyf	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)

Proof of Theorem plyf

Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elply 15250	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
2	1	simprbi 275	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
3		0zd 9391	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℤ)
4		simplrl 535	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 9500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑛 ∈ ℤ)
6	3, 5	fzfigd 10583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑛) ∈ Fin)
7		plybss 15249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		0cnd 8072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0 ∈ ℂ)
9	8	snssd 3780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → {0} ⊆ ℂ)
10	7, 9	unssd 3350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
12	11	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
13		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
14		cnex 8056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ ∈ V
15		ssexg 4187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
16	11, 14, 15	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
17		nn0ex 9308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
18		elmapg 6755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
19	16, 17, 18	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
20	13, 19	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
21		elfznn0 10243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22		ffvelcdm 5720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
23	20, 21, 22	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑎‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
24	12, 23	sseldd 3195	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑎‘𝑘) ∈ ℂ)
25		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
26		expcl 10709	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
27	25, 21, 26	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
28	24, 27	mulcld 8100	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
29	6, 28	fsumcl 11755	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
30	29	fmpttd 5742	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))):ℂ⟶ℂ)
31		feq1 5414	. . . 4 ⊢ (𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → (𝐹:ℂ⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))):ℂ⟶ℂ))
32	30, 31	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))) → (𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ))
33	32	rexlimdvva 2632	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ))
34	2, 33	mpd 13	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486  Vcvv 2773   ∪ cun 3165   ⊆ wss 3167  {csn 3634   ↦ cmpt 4109  ⟶wf 5272  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951   ↑_𝑚 cmap 6742  ℂcc 7930  0cc0 7932   · cmul 7937  ℕ₀cn0 9302  ...cfz 10137  ↑cexp 10690  Σcsu 11708  Polycply 15244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-isom 5285  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-frec 6484  df-1o 6509  df-oadd 6513  df-er 6627  df-map 6744  df-en 6835  df-dom 6836  df-fin 6837  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-ihash 10928  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-clim 11634  df-sumdc 11709  df-ply 15246

This theorem is referenced by:  plysub  15269  plycolemc  15274  plyco  15275  plyreres  15280  dvply2g  15282