Theorem plymullem 15070

Description: Lemma for plymul 15072. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plyadd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
plyadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
plyadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
plyadd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
plyadd.a2	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyadd.b2	⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plyadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plymul.x	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
plymullem	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧,𝑥,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem plymullem

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyadd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plyadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plyadd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		plyadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		plyadd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
6		plybss 15053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		0cnd 8036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
9	8	snssd 3768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
10	7, 9	unssd 3340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11		cnex 8020	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
12		ssexg 4173	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14		nn0ex 9272	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		elmapg 6729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
17	5, 16	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
18	17, 10	fssd 5423	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19		plyadd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
20		elmapg 6729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
21	13, 14, 20	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
22	19, 21	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
23	22, 10	fssd 5423	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
24		plyadd.a2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
25		plyadd.b2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
26		plyadd.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
27		plyadd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
28	1, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27	plymullem1 15068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) · (𝑧↑𝑛))))
29	3, 4	nn0addcld 9323	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
30	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
31		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0})
32		plyadd.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
33	7, 31, 32	un0addcl 9299	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
34	33	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
35		0zd 9355	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → 0 ∈ ℤ)
36		elfzelz 10117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
37	36	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
38	35, 37	fzfigd 10540	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (0...𝑛) ∈ Fin)
39		elfznn0 10206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
40		ffvelcdm 5698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
41	17, 39, 40	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
42		fznn0sub 10149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑛) → (𝑛 − 𝑘) ∈ ℕ0)
43		ffvelcdm 5698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
44	22, 42, 43	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
45	41, 44	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
46		plymul.x	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
47	7, 31, 46	un0mulcl 9300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
48	47	caovclg 6080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
49	45, 48	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
50	49	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
51		ssun2 3328	. . . . . . 7 ⊢ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
52		c0ex 8037	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
53	52	snss 3758	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
54	51, 53	mpbir 146	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
55	54	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → 0 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
56	30, 34, 38, 50, 55	fsumcllem 11581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
57	10, 29, 56	elplyd 15061	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) · (𝑧↑𝑛))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
58	28, 57	eqeltrd 2273	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
59		plyun0 15056	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
60	58, 59	eleqtrdi 2289	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155   ⊆ wss 3157  {csn 3623   ↦ cmpt 4095   “ cima 4667  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ∘_𝑓 cof 6137   ↑_𝑚 cmap 6716  ℂcc 7894  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   · cmul 7901   − cmin 8214  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  ...cfz 10100  ↑cexp 10647  Σcsu 11535  Polycply 15048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-map 6718  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-ply 15050

This theorem is referenced by:  plymul  15072