Theorem plymullem 15467

Description: Lemma for plymul 15469. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plyadd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
plyadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
plyadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
plyadd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
plyadd.a2	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyadd.b2	⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plyadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
plymul.x	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
plymullem	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧,𝑥,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem plymullem

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyadd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		plyadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plyadd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		plyadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		plyadd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
6		plybss 15450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8		0cnd 8165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
9	8	snssd 3816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
10	7, 9	unssd 3381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11		cnex 8149	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
12		ssexg 4226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14		nn0ex 9401	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		elmapg 6825	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
17	5, 16	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
18	17, 10	fssd 5492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19		plyadd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
20		elmapg 6825	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
21	13, 14, 20	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
22	19, 21	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
23	22, 10	fssd 5492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
24		plyadd.a2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
25		plyadd.b2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
26		plyadd.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
27		plyadd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
28	1, 2, 3, 4, 18, 23, 24, 25, 26, 27	plymullem1 15465	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) · (𝑧↑𝑛))))
29	3, 4	nn0addcld 9452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
30	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
31		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0})
32		plyadd.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
33	7, 31, 32	un0addcl 9428	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
34	33	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
35		0zd 9484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → 0 ∈ ℤ)
36		elfzelz 10253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
37	36	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
38	35, 37	fzfigd 10686	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (0...𝑛) ∈ Fin)
39		elfznn0 10342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
40		ffvelcdm 5776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
41	17, 39, 40	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
42		fznn0sub 10285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑛) → (𝑛 − 𝑘) ∈ ℕ0)
43		ffvelcdm 5776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
44	22, 42, 43	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
45	41, 44	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0})))
46		plymul.x	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
47	7, 31, 46	un0mulcl 9429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
48	47	caovclg 6170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴‘𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐵‘(𝑛 − 𝑘)) ∈ (𝑆 ∪ {0}))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
49	45, 48	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
50	49	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
51		ssun2 3369	. . . . . . 7 ⊢ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
52		c0ex 8166	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
53	52	snss 3806	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
54	51, 53	mpbir 146	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
55	54	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → 0 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
56	30, 34, 38, 50, 55	fsumcllem 11953	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
57	10, 29, 56	elplyd 15458	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴‘𝑘) · (𝐵‘(𝑛 − 𝑘))) · (𝑧↑𝑛))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
58	28, 57	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
59		plyun0 15453	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
60	58, 59	eleqtrdi 2322	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ∪ cun 3196   ⊆ wss 3198  {csn 3667   ↦ cmpt 4148   “ cima 4726  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ∘_𝑓 cof 6228   ↑_𝑚 cmap 6812  ℂcc 8023  0cc0 8025  1c1 8026   + caddc 8028   · cmul 8030   − cmin 8343  ℕ₀cn0 9395  ℤcz 9472  ℤ_≥cuz 9748  ...cfz 10236  ↑cexp 10793  Σcsu 11907  Polycply 15445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-disj 4063  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-of 6230  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-map 6814  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-ihash 11031  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-clim 11833  df-sumdc 11908  df-ply 15447

This theorem is referenced by:  plymul  15469