ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prssnql GIF version

Theorem prssnql 7255
Description: The lower cut of a positive real is a subset of the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prssnql (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐿Q)

Proof of Theorem prssnql
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinp 7250 . 2 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑥Q 𝑥𝐿 ∧ ∃𝑦Q 𝑦𝑈)) ∧ ((∀𝑥Q (𝑥𝐿 ↔ ∃𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦𝑦𝐿)) ∧ ∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈))) ∧ ∀𝑥Q ¬ (𝑥𝐿𝑥𝑈) ∧ ∀𝑥Q𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥𝐿𝑦𝑈)))))
2 simplll 507 . 2 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑥Q 𝑥𝐿 ∧ ∃𝑦Q 𝑦𝑈)) ∧ ((∀𝑥Q (𝑥𝐿 ↔ ∃𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦𝑦𝐿)) ∧ ∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈))) ∧ ∀𝑥Q ¬ (𝑥𝐿𝑥𝑈) ∧ ∀𝑥Q𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥𝐿𝑦𝑈)))) → 𝐿Q)
31, 2sylbi 120 1 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐿Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 682  w3a 947  wcel 1465  wral 2393  wrex 2394  wss 3041  cop 3500   class class class wbr 3899  Qcnq 7056   <Q cltq 7061  Pcnp 7067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-qs 6403  df-ni 7080  df-nqqs 7124  df-inp 7242
This theorem is referenced by:  elprnql  7257
  Copyright terms: Public domain W3C validator