Theorem prssnql 7799

Description: The lower cut of a positive real is a subset of the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prssnql	⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)

Proof of Theorem prssnql

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinp 7794	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ¬ (𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ∀𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))))
2		simplll 535	. 2 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑦 ∈ Q (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ¬ (𝑥 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑥 ∈ Q ∀𝑦 ∈ Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐿 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))) → 𝐿 ⊆ Q)
3	1, 2	sylbi 121	1 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ⊆ wss 3213  ⟨cop 3694   class class class wbr 4111  Qcnq 7600   <_Q cltq 7605  Pcnp 7611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-qs 6775  df-ni 7624  df-nqqs 7668  df-inp 7786

This theorem is referenced by:  elprnql  7801