Theorem elprnql 7511

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7509	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3170	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2160  ⟨cop 3610  Qcnq 7310  Pcnp 7321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-qs 6566  df-ni 7334  df-nqqs 7378  df-inp 7496

This theorem is referenced by:  prubl  7516  prnmaxl  7518  prarloclemlt  7523  prarloclemlo  7524  prarloclem5  7530  genpdf  7538  genipv  7539  genpelvl  7542  genpml  7547  genprndl  7551  genpassl  7554  addnqprllem  7557  addnqprl  7559  addlocprlemeqgt  7562  addlocprlemgt  7564  addlocprlem  7565  nqprl  7581  prmuloc  7596  mulnqprl  7598  addcomprg  7608  mulcomprg  7610  distrlem1prl  7612  distrlem4prl  7614  1idprl  7620  ltsopr  7626  ltexprlemm  7630  ltexprlemopl  7631  ltexprlemopu  7633  ltexprlemupu  7634  ltexprlemdisj  7636  ltexprlemloc  7637  ltexprlemfl  7639  ltexprlemrl  7640  ltexprlemfu  7641  ltexprlemru  7642  addcanprleml  7644  addcanprlemu  7645  recexprlemloc  7661  recexprlem1ssl  7663  recexprlem1ssu  7664  recexprlemss1l  7665  aptiprleml  7669  aptiprlemu  7670  caucvgprprlemopl  7727  suplocexprlemex  7752