Theorem elprnql 7701

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7699	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3227	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  ⟨cop 3672  Qcnq 7500  Pcnp 7511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-qs 6708  df-ni 7524  df-nqqs 7568  df-inp 7686

This theorem is referenced by:  prubl  7706  prnmaxl  7708  prarloclemlt  7713  prarloclemlo  7714  prarloclem5  7720  genpdf  7728  genipv  7729  genpelvl  7732  genpml  7737  genprndl  7741  genpassl  7744  addnqprllem  7747  addnqprl  7749  addlocprlemeqgt  7752  addlocprlemgt  7754  addlocprlem  7755  nqprl  7771  prmuloc  7786  mulnqprl  7788  addcomprg  7798  mulcomprg  7800  distrlem1prl  7802  distrlem4prl  7804  1idprl  7810  ltsopr  7816  ltexprlemm  7820  ltexprlemopl  7821  ltexprlemopu  7823  ltexprlemupu  7824  ltexprlemdisj  7826  ltexprlemloc  7827  ltexprlemfl  7829  ltexprlemrl  7830  ltexprlemfu  7831  ltexprlemru  7832  addcanprleml  7834  addcanprlemu  7835  recexprlemloc  7851  recexprlem1ssl  7853  recexprlem1ssu  7854  recexprlemss1l  7855  aptiprleml  7859  aptiprlemu  7860  caucvgprprlemopl  7917  suplocexprlemex  7942