Theorem elprnql 7792

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7790	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3237	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2203  ⟨cop 3691  Qcnq 7591  Pcnp 7602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-qs 6772  df-ni 7615  df-nqqs 7659  df-inp 7777

This theorem is referenced by:  prubl  7797  prnmaxl  7799  prarloclemlt  7804  prarloclemlo  7805  prarloclem5  7811  genpdf  7819  genipv  7820  genpelvl  7823  genpml  7828  genprndl  7832  genpassl  7835  addnqprllem  7838  addnqprl  7840  addlocprlemeqgt  7843  addlocprlemgt  7845  addlocprlem  7846  nqprl  7862  prmuloc  7877  mulnqprl  7879  addcomprg  7889  mulcomprg  7891  distrlem1prl  7893  distrlem4prl  7895  1idprl  7901  ltsopr  7907  ltexprlemm  7911  ltexprlemopl  7912  ltexprlemopu  7914  ltexprlemupu  7915  ltexprlemdisj  7917  ltexprlemloc  7918  ltexprlemfl  7920  ltexprlemrl  7921  ltexprlemfu  7922  ltexprlemru  7923  addcanprleml  7925  addcanprlemu  7926  recexprlemloc  7942  recexprlem1ssl  7944  recexprlem1ssu  7945  recexprlemss1l  7946  aptiprleml  7950  aptiprlemu  7951  caucvgprprlemopl  8008  suplocexprlemex  8033