Theorem elprnql 7629

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7627	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3201	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2178  ⟨cop 3646  Qcnq 7428  Pcnp 7439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-qs 6649  df-ni 7452  df-nqqs 7496  df-inp 7614

This theorem is referenced by:  prubl  7634  prnmaxl  7636  prarloclemlt  7641  prarloclemlo  7642  prarloclem5  7648  genpdf  7656  genipv  7657  genpelvl  7660  genpml  7665  genprndl  7669  genpassl  7672  addnqprllem  7675  addnqprl  7677  addlocprlemeqgt  7680  addlocprlemgt  7682  addlocprlem  7683  nqprl  7699  prmuloc  7714  mulnqprl  7716  addcomprg  7726  mulcomprg  7728  distrlem1prl  7730  distrlem4prl  7732  1idprl  7738  ltsopr  7744  ltexprlemm  7748  ltexprlemopl  7749  ltexprlemopu  7751  ltexprlemupu  7752  ltexprlemdisj  7754  ltexprlemloc  7755  ltexprlemfl  7757  ltexprlemrl  7758  ltexprlemfu  7759  ltexprlemru  7760  addcanprleml  7762  addcanprlemu  7763  recexprlemloc  7779  recexprlem1ssl  7781  recexprlem1ssu  7782  recexprlemss1l  7783  aptiprleml  7787  aptiprlemu  7788  caucvgprprlemopl  7845  suplocexprlemex  7870