Theorem elprnql 7694

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7692	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3225	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3670  Qcnq 7493  Pcnp 7504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-qs 6703  df-ni 7517  df-nqqs 7561  df-inp 7679

This theorem is referenced by:  prubl  7699  prnmaxl  7701  prarloclemlt  7706  prarloclemlo  7707  prarloclem5  7713  genpdf  7721  genipv  7722  genpelvl  7725  genpml  7730  genprndl  7734  genpassl  7737  addnqprllem  7740  addnqprl  7742  addlocprlemeqgt  7745  addlocprlemgt  7747  addlocprlem  7748  nqprl  7764  prmuloc  7779  mulnqprl  7781  addcomprg  7791  mulcomprg  7793  distrlem1prl  7795  distrlem4prl  7797  1idprl  7803  ltsopr  7809  ltexprlemm  7813  ltexprlemopl  7814  ltexprlemopu  7816  ltexprlemupu  7817  ltexprlemdisj  7819  ltexprlemloc  7820  ltexprlemfl  7822  ltexprlemrl  7823  ltexprlemfu  7824  ltexprlemru  7825  addcanprleml  7827  addcanprlemu  7828  recexprlemloc  7844  recexprlem1ssl  7846  recexprlem1ssu  7847  recexprlemss1l  7848  aptiprleml  7852  aptiprlemu  7853  caucvgprprlemopl  7910  suplocexprlemex  7935