Theorem elprnql 7137

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7135	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3039	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1445  ⟨cop 3469  Qcnq 6936  Pcnp 6947

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-qs 6338  df-ni 6960  df-nqqs 7004  df-inp 7122

This theorem is referenced by:  prubl  7142  prnmaxl  7144  prarloclemlt  7149  prarloclemlo  7150  prarloclem5  7156  genpdf  7164  genipv  7165  genpelvl  7168  genpml  7173  genprndl  7177  genpassl  7180  addnqprllem  7183  addnqprl  7185  addlocprlemeqgt  7188  addlocprlemgt  7190  addlocprlem  7191  nqprl  7207  prmuloc  7222  mulnqprl  7224  addcomprg  7234  mulcomprg  7236  distrlem1prl  7238  distrlem4prl  7240  1idprl  7246  ltsopr  7252  ltexprlemm  7256  ltexprlemopl  7257  ltexprlemopu  7259  ltexprlemupu  7260  ltexprlemdisj  7262  ltexprlemloc  7263  ltexprlemfl  7265  ltexprlemrl  7266  ltexprlemfu  7267  ltexprlemru  7268  addcanprleml  7270  addcanprlemu  7271  recexprlemloc  7287  recexprlem1ssl  7289  recexprlem1ssu  7290  recexprlemss1l  7291  aptiprleml  7295  aptiprlemu  7296  caucvgprprlemopl  7353