Theorem elprnql 7636

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7634	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3204	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2180  ⟨cop 3649  Qcnq 7435  Pcnp 7446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-iinf 4657

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-qs 6656  df-ni 7459  df-nqqs 7503  df-inp 7621

This theorem is referenced by:  prubl  7641  prnmaxl  7643  prarloclemlt  7648  prarloclemlo  7649  prarloclem5  7655  genpdf  7663  genipv  7664  genpelvl  7667  genpml  7672  genprndl  7676  genpassl  7679  addnqprllem  7682  addnqprl  7684  addlocprlemeqgt  7687  addlocprlemgt  7689  addlocprlem  7690  nqprl  7706  prmuloc  7721  mulnqprl  7723  addcomprg  7733  mulcomprg  7735  distrlem1prl  7737  distrlem4prl  7739  1idprl  7745  ltsopr  7751  ltexprlemm  7755  ltexprlemopl  7756  ltexprlemopu  7758  ltexprlemupu  7759  ltexprlemdisj  7761  ltexprlemloc  7762  ltexprlemfl  7764  ltexprlemrl  7765  ltexprlemfu  7766  ltexprlemru  7767  addcanprleml  7769  addcanprlemu  7770  recexprlemloc  7786  recexprlem1ssl  7788  recexprlem1ssu  7789  recexprlemss1l  7790  aptiprleml  7794  aptiprlemu  7795  caucvgprprlemopl  7852  suplocexprlemex  7877