Theorem elprnql 7483

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7481	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3157	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  ⟨cop 3597  Qcnq 7282  Pcnp 7293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-qs 6544  df-ni 7306  df-nqqs 7350  df-inp 7468

This theorem is referenced by:  prubl  7488  prnmaxl  7490  prarloclemlt  7495  prarloclemlo  7496  prarloclem5  7502  genpdf  7510  genipv  7511  genpelvl  7514  genpml  7519  genprndl  7523  genpassl  7526  addnqprllem  7529  addnqprl  7531  addlocprlemeqgt  7534  addlocprlemgt  7536  addlocprlem  7537  nqprl  7553  prmuloc  7568  mulnqprl  7570  addcomprg  7580  mulcomprg  7582  distrlem1prl  7584  distrlem4prl  7586  1idprl  7592  ltsopr  7598  ltexprlemm  7602  ltexprlemopl  7603  ltexprlemopu  7605  ltexprlemupu  7606  ltexprlemdisj  7608  ltexprlemloc  7609  ltexprlemfl  7611  ltexprlemrl  7612  ltexprlemfu  7613  ltexprlemru  7614  addcanprleml  7616  addcanprlemu  7617  recexprlemloc  7633  recexprlem1ssl  7635  recexprlem1ssu  7636  recexprlemss1l  7637  aptiprleml  7641  aptiprlemu  7642  caucvgprprlemopl  7699  suplocexprlemex  7724