Theorem elprnql 7801

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7799	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3240	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205  ⟨cop 3694  Qcnq 7600  Pcnp 7611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-qs 6775  df-ni 7624  df-nqqs 7668  df-inp 7786

This theorem is referenced by:  prubl  7806  prnmaxl  7808  prarloclemlt  7813  prarloclemlo  7814  prarloclem5  7820  genpdf  7828  genipv  7829  genpelvl  7832  genpml  7837  genprndl  7841  genpassl  7844  addnqprllem  7847  addnqprl  7849  addlocprlemeqgt  7852  addlocprlemgt  7854  addlocprlem  7855  nqprl  7871  prmuloc  7886  mulnqprl  7888  addcomprg  7898  mulcomprg  7900  distrlem1prl  7902  distrlem4prl  7904  1idprl  7910  ltsopr  7916  ltexprlemm  7920  ltexprlemopl  7921  ltexprlemopu  7923  ltexprlemupu  7924  ltexprlemdisj  7926  ltexprlemloc  7927  ltexprlemfl  7929  ltexprlemrl  7930  ltexprlemfu  7931  ltexprlemru  7932  addcanprleml  7934  addcanprlemu  7935  recexprlemloc  7951  recexprlem1ssl  7953  recexprlem1ssu  7954  recexprlemss1l  7955  aptiprleml  7959  aptiprlemu  7960  caucvgprprlemopl  8017  suplocexprlemex  8042