Theorem elprnql 7842

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7840	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3248	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3711  Qcnq 7641  Pcnp 7652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-qs 6807  df-ni 7665  df-nqqs 7709  df-inp 7827

This theorem is referenced by:  prubl  7847  prnmaxl  7849  prarloclemlt  7854  prarloclemlo  7855  prarloclem5  7861  genpdf  7869  genipv  7870  genpelvl  7873  genpml  7878  genprndl  7882  genpassl  7885  addnqprllem  7888  addnqprl  7890  addlocprlemeqgt  7893  addlocprlemgt  7895  addlocprlem  7896  nqprl  7912  prmuloc  7927  mulnqprl  7929  addcomprg  7939  mulcomprg  7941  distrlem1prl  7943  distrlem4prl  7945  1idprl  7951  ltsopr  7957  ltexprlemm  7961  ltexprlemopl  7962  ltexprlemopu  7964  ltexprlemupu  7965  ltexprlemdisj  7967  ltexprlemloc  7968  ltexprlemfl  7970  ltexprlemrl  7971  ltexprlemfu  7972  ltexprlemru  7973  addcanprleml  7975  addcanprlemu  7976  recexprlemloc  7992  recexprlem1ssl  7994  recexprlem1ssu  7995  recexprlemss1l  7996  aptiprleml  8000  aptiprlemu  8001  caucvgprprlemopl  8058  suplocexprlemex  8083