Theorem elprnql 7443

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7441	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3147	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141  ⟨cop 3586  Qcnq 7242  Pcnp 7253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-qs 6519  df-ni 7266  df-nqqs 7310  df-inp 7428

This theorem is referenced by:  prubl  7448  prnmaxl  7450  prarloclemlt  7455  prarloclemlo  7456  prarloclem5  7462  genpdf  7470  genipv  7471  genpelvl  7474  genpml  7479  genprndl  7483  genpassl  7486  addnqprllem  7489  addnqprl  7491  addlocprlemeqgt  7494  addlocprlemgt  7496  addlocprlem  7497  nqprl  7513  prmuloc  7528  mulnqprl  7530  addcomprg  7540  mulcomprg  7542  distrlem1prl  7544  distrlem4prl  7546  1idprl  7552  ltsopr  7558  ltexprlemm  7562  ltexprlemopl  7563  ltexprlemopu  7565  ltexprlemupu  7566  ltexprlemdisj  7568  ltexprlemloc  7569  ltexprlemfl  7571  ltexprlemrl  7572  ltexprlemfu  7573  ltexprlemru  7574  addcanprleml  7576  addcanprlemu  7577  recexprlemloc  7593  recexprlem1ssl  7595  recexprlem1ssu  7596  recexprlemss1l  7597  aptiprleml  7601  aptiprlemu  7602  caucvgprprlemopl  7659  suplocexprlemex  7684