Theorem elprnql 7601

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7599	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3194	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2177  ⟨cop 3637  Qcnq 7400  Pcnp 7411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-qs 6633  df-ni 7424  df-nqqs 7468  df-inp 7586

This theorem is referenced by:  prubl  7606  prnmaxl  7608  prarloclemlt  7613  prarloclemlo  7614  prarloclem5  7620  genpdf  7628  genipv  7629  genpelvl  7632  genpml  7637  genprndl  7641  genpassl  7644  addnqprllem  7647  addnqprl  7649  addlocprlemeqgt  7652  addlocprlemgt  7654  addlocprlem  7655  nqprl  7671  prmuloc  7686  mulnqprl  7688  addcomprg  7698  mulcomprg  7700  distrlem1prl  7702  distrlem4prl  7704  1idprl  7710  ltsopr  7716  ltexprlemm  7720  ltexprlemopl  7721  ltexprlemopu  7723  ltexprlemupu  7724  ltexprlemdisj  7726  ltexprlemloc  7727  ltexprlemfl  7729  ltexprlemrl  7730  ltexprlemfu  7731  ltexprlemru  7732  addcanprleml  7734  addcanprlemu  7735  recexprlemloc  7751  recexprlem1ssl  7753  recexprlem1ssu  7754  recexprlemss1l  7755  aptiprleml  7759  aptiprlemu  7760  caucvgprprlemopl  7817  suplocexprlemex  7842