Theorem elprnql 7684

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7682	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3224	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669  Qcnq 7483  Pcnp 7494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-iinf 4681

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-qs 6699  df-ni 7507  df-nqqs 7551  df-inp 7669

This theorem is referenced by:  prubl  7689  prnmaxl  7691  prarloclemlt  7696  prarloclemlo  7697  prarloclem5  7703  genpdf  7711  genipv  7712  genpelvl  7715  genpml  7720  genprndl  7724  genpassl  7727  addnqprllem  7730  addnqprl  7732  addlocprlemeqgt  7735  addlocprlemgt  7737  addlocprlem  7738  nqprl  7754  prmuloc  7769  mulnqprl  7771  addcomprg  7781  mulcomprg  7783  distrlem1prl  7785  distrlem4prl  7787  1idprl  7793  ltsopr  7799  ltexprlemm  7803  ltexprlemopl  7804  ltexprlemopu  7806  ltexprlemupu  7807  ltexprlemdisj  7809  ltexprlemloc  7810  ltexprlemfl  7812  ltexprlemrl  7813  ltexprlemfu  7814  ltexprlemru  7815  addcanprleml  7817  addcanprlemu  7818  recexprlemloc  7834  recexprlem1ssl  7836  recexprlem1ssu  7837  recexprlemss1l  7838  aptiprleml  7842  aptiprlemu  7843  caucvgprprlemopl  7900  suplocexprlemex  7925