Theorem elprnql 7313

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7311	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3102	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1481  ⟨cop 3535  Qcnq 7112  Pcnp 7123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-qs 6443  df-ni 7136  df-nqqs 7180  df-inp 7298

This theorem is referenced by:  prubl  7318  prnmaxl  7320  prarloclemlt  7325  prarloclemlo  7326  prarloclem5  7332  genpdf  7340  genipv  7341  genpelvl  7344  genpml  7349  genprndl  7353  genpassl  7356  addnqprllem  7359  addnqprl  7361  addlocprlemeqgt  7364  addlocprlemgt  7366  addlocprlem  7367  nqprl  7383  prmuloc  7398  mulnqprl  7400  addcomprg  7410  mulcomprg  7412  distrlem1prl  7414  distrlem4prl  7416  1idprl  7422  ltsopr  7428  ltexprlemm  7432  ltexprlemopl  7433  ltexprlemopu  7435  ltexprlemupu  7436  ltexprlemdisj  7438  ltexprlemloc  7439  ltexprlemfl  7441  ltexprlemrl  7442  ltexprlemfu  7443  ltexprlemru  7444  addcanprleml  7446  addcanprlemu  7447  recexprlemloc  7463  recexprlem1ssl  7465  recexprlem1ssu  7466  recexprlemss1l  7467  aptiprleml  7471  aptiprlemu  7472  caucvgprprlemopl  7529  suplocexprlemex  7554