Theorem elprnql 7430

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7428	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3147	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141  ⟨cop 3584  Qcnq 7229  Pcnp 7240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-qs 6515  df-ni 7253  df-nqqs 7297  df-inp 7415

This theorem is referenced by:  prubl  7435  prnmaxl  7437  prarloclemlt  7442  prarloclemlo  7443  prarloclem5  7449  genpdf  7457  genipv  7458  genpelvl  7461  genpml  7466  genprndl  7470  genpassl  7473  addnqprllem  7476  addnqprl  7478  addlocprlemeqgt  7481  addlocprlemgt  7483  addlocprlem  7484  nqprl  7500  prmuloc  7515  mulnqprl  7517  addcomprg  7527  mulcomprg  7529  distrlem1prl  7531  distrlem4prl  7533  1idprl  7539  ltsopr  7545  ltexprlemm  7549  ltexprlemopl  7550  ltexprlemopu  7552  ltexprlemupu  7553  ltexprlemdisj  7555  ltexprlemloc  7556  ltexprlemfl  7558  ltexprlemrl  7559  ltexprlemfu  7560  ltexprlemru  7561  addcanprleml  7563  addcanprlemu  7564  recexprlemloc  7580  recexprlem1ssl  7582  recexprlem1ssu  7583  recexprlemss1l  7584  aptiprleml  7588  aptiprlemu  7589  caucvgprprlemopl  7646  suplocexprlemex  7671