Theorem elprnql 7855

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7853	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3248	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3712  Qcnq 7654  Pcnp 7665

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-qs 6817  df-ni 7678  df-nqqs 7722  df-inp 7840

This theorem is used by:  prubl  7860  prnmaxl  7862  prarloclemlt  7867  prarloclemlo  7868  prarloclem5  7874  genpdf  7882  genipv  7883  genpelvl  7886  genpml  7891  genprndl  7895  genpassl  7898  addnqprllem  7901  addnqprl  7903  addlocprlemeqgt  7906  addlocprlemgt  7908  addlocprlem  7909  nqprl  7925  prmuloc  7940  mulnqprl  7942  addcomprg  7952  mulcomprg  7954  distrlem1prl  7956  distrlem4prl  7958  1idprl  7964  ltsopr  7970  ltexprlemm  7974  ltexprlemopl  7975  ltexprlemopu  7977  ltexprlemupu  7978  ltexprlemdisj  7980  ltexprlemloc  7981  ltexprlemfl  7983  ltexprlemrl  7984  ltexprlemfu  7985  ltexprlemru  7986  addcanprleml  7988  addcanprlemu  7989  recexprlemloc  8005  recexprlem1ssl  8007  recexprlem1ssu  8008  recexprlemss1l  8009  aptiprleml  8013  aptiprlemu  8014  caucvgprprlemopl  8071  suplocexprlemex  8096