Theorem elprnql 7565

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7563	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3184	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  ⟨cop 3626  Qcnq 7364  Pcnp 7375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-qs 6607  df-ni 7388  df-nqqs 7432  df-inp 7550

This theorem is referenced by:  prubl  7570  prnmaxl  7572  prarloclemlt  7577  prarloclemlo  7578  prarloclem5  7584  genpdf  7592  genipv  7593  genpelvl  7596  genpml  7601  genprndl  7605  genpassl  7608  addnqprllem  7611  addnqprl  7613  addlocprlemeqgt  7616  addlocprlemgt  7618  addlocprlem  7619  nqprl  7635  prmuloc  7650  mulnqprl  7652  addcomprg  7662  mulcomprg  7664  distrlem1prl  7666  distrlem4prl  7668  1idprl  7674  ltsopr  7680  ltexprlemm  7684  ltexprlemopl  7685  ltexprlemopu  7687  ltexprlemupu  7688  ltexprlemdisj  7690  ltexprlemloc  7691  ltexprlemfl  7693  ltexprlemrl  7694  ltexprlemfu  7695  ltexprlemru  7696  addcanprleml  7698  addcanprlemu  7699  recexprlemloc  7715  recexprlem1ssl  7717  recexprlem1ssu  7718  recexprlemss1l  7719  aptiprleml  7723  aptiprlemu  7724  caucvgprprlemopl  7781  suplocexprlemex  7806