Theorem elprnql 7706

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7704	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3226	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2201  ⟨cop 3673  Qcnq 7505  Pcnp 7516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-iinf 4688

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-qs 6713  df-ni 7529  df-nqqs 7573  df-inp 7691

This theorem is referenced by:  prubl  7711  prnmaxl  7713  prarloclemlt  7718  prarloclemlo  7719  prarloclem5  7725  genpdf  7733  genipv  7734  genpelvl  7737  genpml  7742  genprndl  7746  genpassl  7749  addnqprllem  7752  addnqprl  7754  addlocprlemeqgt  7757  addlocprlemgt  7759  addlocprlem  7760  nqprl  7776  prmuloc  7791  mulnqprl  7793  addcomprg  7803  mulcomprg  7805  distrlem1prl  7807  distrlem4prl  7809  1idprl  7815  ltsopr  7821  ltexprlemm  7825  ltexprlemopl  7826  ltexprlemopu  7828  ltexprlemupu  7829  ltexprlemdisj  7831  ltexprlemloc  7832  ltexprlemfl  7834  ltexprlemrl  7835  ltexprlemfu  7836  ltexprlemru  7837  addcanprleml  7839  addcanprlemu  7840  recexprlemloc  7856  recexprlem1ssl  7858  recexprlem1ssu  7859  recexprlemss1l  7860  aptiprleml  7864  aptiprlemu  7865  caucvgprprlemopl  7922  suplocexprlemex  7947