ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddpwdclemdc GIF version
Theorem oddpwdclemdc 12173
Description: Lemma for oddpwdc 12174. Decomposing a number into odd and even parts. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddpwdclemdc ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐ด   ๐‘ง,๐‘Œ
Allowed substitution hint:   ๐‘‹(๐‘ง)
Proof of Theorem oddpwdclemdc
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . 4 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹))
2 2nn 9080 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
32a1i 9 . . . . . 6 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
4 simplr 528 . . . . . 6 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„•0)
53, 4nnexpcld 10676 . . . . 5 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (2โ†‘๐‘Œ) โˆˆ โ„•)
6 simplll 533 . . . . 5 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
75, 6nnmulcld 8968 . . . 4 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„•)
81, 7eqeltrd 2254 . . 3 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
9 oddpwdclemxy 12169 . . 3 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))))
108, 9jca 306 . 2 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))))
11 simpr 110 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))))) โ†’ ๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))))
12 oddpwdclemdvds 12170 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))) โˆฅ ๐ด)
132a1i 9 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
14 pw2dvdseu 12168 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ โˆƒ!๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))
15 riotacl 5845 . . . . . . . . . . 11 (โˆƒ!๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด) โ†’ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)) โˆˆ โ„•0)
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)) โˆˆ โ„•0)
1713, 16nnexpcld 10676 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))) โˆˆ โ„•)
18 nndivdvds 11803 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))) โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))) โˆฅ ๐ด โ†” (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆˆ โ„•))
1917, 18mpdan 421 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))) โˆฅ ๐ด โ†” (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆˆ โ„•))
2012, 19mpbid 147 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆˆ โ„•)
2120adantr 276 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))))) โ†’ (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆˆ โ„•)
2211, 21eqeltrd 2254 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
2322adantrr 479 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
24 oddpwdclemodd 12172 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))))
2524adantr 276 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))))
26 breq2 4008 . . . . . . 7 (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘‹ โ†” 2 โˆฅ (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))))))
2726notbid 667 . . . . . 6 (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹ โ†” ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))))))
2827ad2antrl 490 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹ โ†” ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))))))
2925, 28mpbird 167 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹)
3023, 29jca 306 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹))
31 simprr 531 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))
3216adantr 276 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)) โˆˆ โ„•0)
3331, 32eqeltrd 2254 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„•0)
3431oveq2d 5891 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ (2โ†‘๐‘Œ) = (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))))
3511adantrr 479 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ ๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))))
3634, 35oveq12d 5893 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹) = ((2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))) ยท (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))))))
37 simpl 109 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
3837nncnd 8933 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3917adantr 276 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))) โˆˆ โ„•)
4039nncnd 8933 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
4139nnap0d 8965 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))) # 0)
4238, 40, 41divcanap2d 8749 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ ((2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))) ยท (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด))))) = ๐ด)
4336, 42eqtr2d 2211 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹))
4430, 33, 43jca31 309 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)))
4510, 44impbii 126 1 ((((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท ๐‘‹)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ = (๐ด / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))) โˆง ๐‘Œ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐ด)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒ!wreu 2457   class class class wbr 4004  โ„ฉcrio 5830  (class class class)co 5875  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  2c2 8970  โ„•0cn0 9176  โ†‘cexp 10519   โˆฅ cdvds 11794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-dvds 11795
This theorem is referenced by:  oddpwdc  12174
  Copyright terms: Public domain W3C validator