Theorem cjval 11466

Description: The value of the conjugate of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cjval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cjval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cju 9184	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
2		riotacl 5997	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) ∈ ℂ)
4		oveq1 6035	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 + 𝑥) = (𝐴 + 𝑥))
5	4	eleq1d 2300	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ))
6		oveq1 6035	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑥))
7	6	oveq2d 6044	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (i · (𝑦 − 𝑥)) = (i · (𝐴 − 𝑥)))
8	7	eleq1d 2300	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((i · (𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
9	5, 8	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
10	9	riotabidv 5983	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ)) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
11		df-cj 11463	. . 3 ⊢ ∗ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
12	10, 11	fvmptg 5731	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) ∈ ℂ) → (∗‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
13	3, 12	mpdan 421	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∃!wreu 2513  ‘cfv 5333  ℩crio 5980  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074  ici 8077   + caddc 8078   · cmul 8080   − cmin 8393  ∗ccj 11460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-ltxr 8262  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-cj 11463

This theorem is referenced by:  cjth  11467  remim  11481