Theorem cjval 10856

Description: The value of the conjugate of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cjval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cjval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cju 8920	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
2		riotacl 5847	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) ∈ ℂ)
4		oveq1 5884	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 + 𝑥) = (𝐴 + 𝑥))
5	4	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ))
6		oveq1 5884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑥))
7	6	oveq2d 5893	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (i · (𝑦 − 𝑥)) = (i · (𝐴 − 𝑥)))
8	7	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((i · (𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
9	5, 8	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
10	9	riotabidv 5835	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ)) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
11		df-cj 10853	. . 3 ⊢ ∗ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑦 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
12	10, 11	fvmptg 5594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) ∈ ℂ) → (∗‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
13	3, 12	mpdan 421	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃!wreu 2457  ‘cfv 5218  ℩crio 5832  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  ℝcr 7812  ici 7815   + caddc 7816   · cmul 7818   − cmin 8130  ∗ccj 10850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-cj 10853

This theorem is referenced by:  cjth  10857  remim  10871