Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjval GIF version

Theorem cjval 10669
 Description: The value of the conjugate of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cjval (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cjval
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cju 8763 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
2 riotacl 5753 . . 3 (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) ∈ ℂ)
31, 2syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) ∈ ℂ)
4 oveq1 5790 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 + 𝑥) = (𝐴 + 𝑥))
54eleq1d 2209 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ))
6 oveq1 5790 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑥) = (𝐴𝑥))
76oveq2d 5799 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (i · (𝑦𝑥)) = (i · (𝐴𝑥)))
87eleq1d 2209 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((i · (𝑦𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
95, 8anbi12d 465 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑦𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)))
109riotabidv 5741 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℂ ((𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑦𝑥)) ∈ ℝ)) = (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)))
11 df-cj 10666 . . 3 ∗ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℂ ((𝑦 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑦𝑥)) ∈ ℝ)))
1210, 11fvmptg 5506 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) ∈ ℂ) → (∗‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)))
133, 12mpdan 418 1 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃!wreu 2419  ‘cfv 5132  ℩crio 5738  (class class class)co 5783  ℂcc 7662  ℝcr 7663  ici 7666   + caddc 7667   · cmul 7669   − cmin 7977  ∗ccj 10663 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-ltxr 7849  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-cj 10666 This theorem is referenced by:  cjth  10670  remim  10684
 Copyright terms: Public domain W3C validator