Theorem oddpwdclemodd 12746

Description: Lemma for oddpwdc 12748. Removing the powers of two from a natural number produces an odd number. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddpwdclemodd	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))))

Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem oddpwdclemodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddpwdclemndvds 12745	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴)
2		2cn 9214	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		pw2dvdseu 12742	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
4		riotacl 5987	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) ∈ ℕ0)
6		expp1 10809	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) ∈ ℕ0) → (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) = ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2))
7	2, 5, 6	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) = ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2))
8	7	breq1d 4098	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴 ↔ ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2) ∥ 𝐴))
9	1, 8	mtbid 678	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2) ∥ 𝐴)
10		nncn 9151	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
11		2nn 9305	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
12	11	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
13	12, 5	nnexpcld 10958	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℕ)
14	13	nncnd 9157	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℂ)
15	13	nnap0d 9189	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) # 0)
16	10, 14, 15	divcanap2d 8972	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))) = 𝐴)
17	16	eqcomd 2237	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 = ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))))
18	17	breq2d 4100	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2) ∥ 𝐴 ↔ ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2) ∥ ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))))))
19	12	nnzd 9601	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
20		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
21		oddpwdclemdvds 12744	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∥ 𝐴)
22		nndivdvds 12359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℕ) → ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∈ ℕ))
23	22	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℕ) ∧ (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∥ 𝐴) → (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∈ ℕ)
24	20, 13, 21, 23	syl21anc 1272	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∈ ℕ)
25	24	nnzd 9601	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∈ ℤ)
26	13	nnzd 9601	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℤ)
27	13	nnne0d 9188	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ≠ 0)
28		dvdscmulr 12383	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∈ ℤ ∧ ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℤ ∧ (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ≠ 0)) → (((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2) ∥ ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))) ↔ 2 ∥ (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))))
29	19, 25, 26, 27, 28	syl112anc 1277	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2) ∥ ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))) ↔ 2 ∥ (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))))
30	18, 29	bitrd 188	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2) ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))))
31	9, 30	mtbid 678	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∃!wreu 2512   class class class wbr 4088  ℩crio 5970  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037   / cdiv 8852  ℕcn 9143  2c2 9194  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ↑cexp 10801   ∥ cdvds 12350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-dvds 12351

This theorem is referenced by:  oddpwdclemdc  12747