Theorem oddpwdclemodd 12538

Description: Lemma for oddpwdc 12540. Removing the powers of two from a natural number produces an odd number. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddpwdclemodd	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))))

Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem oddpwdclemodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddpwdclemndvds 12537	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴)
2		2cn 9114	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		pw2dvdseu 12534	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))
4		riotacl 5921	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) ∈ ℕ0)
6		expp1 10698	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) ∈ ℕ0) → (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) = ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2))
7	2, 5, 6	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) = ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2))
8	7	breq1d 4057	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑((℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)) + 1)) ∥ 𝐴 ↔ ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2) ∥ 𝐴))
9	1, 8	mtbid 674	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2) ∥ 𝐴)
10		nncn 9051	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
11		2nn 9205	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
12	11	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
13	12, 5	nnexpcld 10847	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℕ)
14	13	nncnd 9057	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℂ)
15	13	nnap0d 9089	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) # 0)
16	10, 14, 15	divcanap2d 8872	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))) = 𝐴)
17	16	eqcomd 2212	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 = ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))))
18	17	breq2d 4059	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2) ∥ 𝐴 ↔ ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2) ∥ ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))))))
19	12	nnzd 9501	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
20		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
21		oddpwdclemdvds 12536	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∥ 𝐴)
22		nndivdvds 12151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℕ) → ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∈ ℕ))
23	22	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℕ) ∧ (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∥ 𝐴) → (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∈ ℕ)
24	20, 13, 21, 23	syl21anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∈ ℕ)
25	24	nnzd 9501	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∈ ℤ)
26	13	nnzd 9501	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℤ)
27	13	nnne0d 9088	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ≠ 0)
28		dvdscmulr 12175	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))) ∈ ℤ ∧ ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ∈ ℤ ∧ (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) ≠ 0)) → (((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2) ∥ ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))) ↔ 2 ∥ (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))))
29	19, 25, 26, 27, 28	syl112anc 1254	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2) ∥ ((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))) ↔ 2 ∥ (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))))
30	18, 29	bitrd 188	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))) · 2) ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴))))))
31	9, 30	mtbid 674	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ (𝐴 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝐴 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝐴)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  ∃!wreu 2487   class class class wbr 4047  ℩crio 5905  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  0cc0 7932  1c1 7933   + caddc 7935   · cmul 7937   / cdiv 8752  ℕcn 9043  2c2 9094  ℕ₀cn0 9302  ℤcz 9379  ↑cexp 10690   ∥ cdvds 12142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fl 10420  df-mod 10475  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-dvds 12143

This theorem is referenced by:  oddpwdclemdc  12539