Theorem subcl 8361

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8354	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8353	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 5979	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2306	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃!wreu 2510  ℩crio 5962  (class class class)co 6010  ℂcc 8013   + caddc 8018   − cmin 8333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-setind 4630  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-sub 8335

This theorem is referenced by:  negcl  8362  subf  8364  pncan3  8370  npcan  8371  addsubass  8372  addsub  8373  addsub12  8375  addsubeq4  8377  npncan  8383  nppcan  8384  nnpcan  8385  nppcan3  8386  subcan2  8387  subsub2  8390  subsub4  8395  nnncan  8397  nnncan1  8398  nnncan2  8399  npncan3  8400  addsub4  8405  subadd4  8406  peano2cnm  8428  subcli  8438  subcld  8473  subeqrev  8538  subdi  8547  subdir  8548  mulsub2  8564  recextlem1  8814  recexap  8816  div2subap  9000  cju  9124  ofnegsub  9125  halfaddsubcl  9360  halfaddsub  9361  iccf1o  10217  ser3sub  10762  sqsubswap  10838  subsq  10885  subsq2  10886  bcn2  11003  pfxccatin12lem1  11281  pfxccatin12lem2  11284  shftval2  11358  2shfti  11363  sqabssub  11588  abssub  11633  abs3dif  11637  abs2dif  11638  abs2difabs  11640  climuni  11825  cjcn2  11848  recn2  11849  imcn2  11850  climsub  11860  fisum0diag2  11979  arisum2  12031  geosergap  12038  geolim  12043  geolim2  12044  georeclim  12045  geo2sum  12046  tanaddap  12271  addsin  12274  fzocongeq  12390  odd2np1  12405  phiprm  12766  pythagtriplem4  12812  pythagtriplem12  12819  pythagtriplem14  12821  fldivp1  12892  4sqlem19  12953  cnmet  15225  dveflem  15421  dvef  15422  efimpi  15514  ptolemy  15519  tangtx  15533  abssinper  15541  1sgm2ppw  15690  perfect1  15693  lgsquad2  15783