Theorem subcl 8525

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8518	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8517	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 6054	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2315	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃!wreu 2530  ℩crio 6037  (class class class)co 6085  ℂcc 8177   + caddc 8182   − cmin 8497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499

This theorem is used by:  negcl  8526  subf  8528  pncan3  8534  npcan  8535  addsubass  8536  addsub  8537  addsub12  8539  addsubeq4  8541  npncan  8547  nppcan  8548  nnpcan  8549  nppcan3  8550  subcan2  8551  subsub2  8554  subsub4  8559  nnncan  8561  nnncan1  8562  nnncan2  8563  npncan3  8564  addsub4  8569  subadd4  8570  peano2cnm  8592  subcli  8602  subcld  8637  subeqrev  8702  subdi  8712  subdir  8713  mulsub2  8729  recextlem1  8980  recexap  8982  div2subap  9168  cju  9292  ofnegsub  9293  halfaddsubcl  9540  halfaddsub  9541  iccf1o  10409  ser3sub  10962  sqsubswap  11038  subsq  11085  subsq2  11086  bcn2  11204  pfxccatin12lem1  11502  pfxccatin12lem2  11505  shftval2  11593  2shfti  11598  sqabssub  11824  abssub  11869  abs3dif  11873  abs2dif  11874  abs2difabs  11876  climuni  12061  cjcn2  12084  recn2  12085  imcn2  12086  climsub  12096  fisum0diag2  12216  arisum2  12268  geosergap  12275  geolim  12280  geolim2  12281  georeclim  12282  geo2sum  12283  tanaddap  12508  addsin  12511  fzocongeq  12627  odd2np1  12642  phiprm  13003  pythagtriplem4  13049  pythagtriplem12  13056  pythagtriplem14  13058  fldivp1  13129  4sqlem19  13190  cnmet  15633  dveflem  15829  dvef  15830  efimpi  15923  ptolemy  15928  tangtx  15942  abssinper  15950  birthdaylem2  16094  1sgm2ppw  16115  perfect1  16118  lgsquad2  16214