Theorem subcl 8488

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8480	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 6027	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃!wreu 2524  ℩crio 6010  (class class class)co 6058  ℂcc 8141   + caddc 8146   − cmin 8460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462

This theorem is referenced by:  negcl  8489  subf  8491  pncan3  8497  npcan  8498  addsubass  8499  addsub  8500  addsub12  8502  addsubeq4  8504  npncan  8510  nppcan  8511  nnpcan  8512  nppcan3  8513  subcan2  8514  subsub2  8517  subsub4  8522  nnncan  8524  nnncan1  8525  nnncan2  8526  npncan3  8527  addsub4  8532  subadd4  8533  peano2cnm  8555  subcli  8565  subcld  8600  subeqrev  8665  subdi  8675  subdir  8676  mulsub2  8692  recextlem1  8942  recexap  8944  div2subap  9128  cju  9252  ofnegsub  9253  halfaddsubcl  9488  halfaddsub  9489  iccf1o  10357  ser3sub  10909  sqsubswap  10985  subsq  11032  subsq2  11033  bcn2  11151  pfxccatin12lem1  11445  pfxccatin12lem2  11448  shftval2  11536  2shfti  11541  sqabssub  11766  abssub  11811  abs3dif  11815  abs2dif  11816  abs2difabs  11818  climuni  12003  cjcn2  12026  recn2  12027  imcn2  12028  climsub  12038  fisum0diag2  12158  arisum2  12210  geosergap  12217  geolim  12222  geolim2  12223  georeclim  12224  geo2sum  12225  tanaddap  12450  addsin  12453  fzocongeq  12569  odd2np1  12584  phiprm  12945  pythagtriplem4  12991  pythagtriplem12  12998  pythagtriplem14  13000  fldivp1  13071  4sqlem19  13132  cnmet  15507  dveflem  15703  dvef  15704  efimpi  15796  ptolemy  15801  tangtx  15815  abssinper  15823  1sgm2ppw  15975  perfect1  15978  lgsquad2  16068