Theorem subcl 8471

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8463	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 6018	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2309	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∃!wreu 2522  ℩crio 6001  (class class class)co 6049  ℂcc 8124   + caddc 8129   − cmin 8443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-setind 4658  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-sub 8445

This theorem is referenced by:  negcl  8472  subf  8474  pncan3  8480  npcan  8481  addsubass  8482  addsub  8483  addsub12  8485  addsubeq4  8487  npncan  8493  nppcan  8494  nnpcan  8495  nppcan3  8496  subcan2  8497  subsub2  8500  subsub4  8505  nnncan  8507  nnncan1  8508  nnncan2  8509  npncan3  8510  addsub4  8515  subadd4  8516  peano2cnm  8538  subcli  8548  subcld  8583  subeqrev  8648  subdi  8657  subdir  8658  mulsub2  8674  recextlem1  8924  recexap  8926  div2subap  9110  cju  9234  ofnegsub  9235  halfaddsubcl  9470  halfaddsub  9471  iccf1o  10337  ser3sub  10884  sqsubswap  10960  subsq  11007  subsq2  11008  bcn2  11125  pfxccatin12lem1  11416  pfxccatin12lem2  11419  shftval2  11507  2shfti  11512  sqabssub  11737  abssub  11782  abs3dif  11786  abs2dif  11787  abs2difabs  11789  climuni  11974  cjcn2  11997  recn2  11998  imcn2  11999  climsub  12009  fisum0diag2  12129  arisum2  12181  geosergap  12188  geolim  12193  geolim2  12194  georeclim  12195  geo2sum  12196  tanaddap  12421  addsin  12424  fzocongeq  12540  odd2np1  12555  phiprm  12916  pythagtriplem4  12962  pythagtriplem12  12969  pythagtriplem14  12971  fldivp1  13042  4sqlem19  13103  cnmet  15387  dveflem  15583  dvef  15584  efimpi  15676  ptolemy  15681  tangtx  15695  abssinper  15703  1sgm2ppw  15855  perfect1  15858  lgsquad2  15948