Theorem subcl 8527

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8520	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8519	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 6054	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2315	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃!wreu 2530  ℩crio 6037  (class class class)co 6085  ℂcc 8178   + caddc 8183   − cmin 8499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8501

This theorem is used by:  negcl  8528  subf  8530  pncan3  8536  npcan  8537  addsubass  8538  addsub  8539  addsub12  8541  addsubeq4  8543  npncan  8549  nppcan  8550  nnpcan  8551  nppcan3  8552  subcan2  8553  subsub2  8556  subsub4  8561  nnncan  8563  nnncan1  8564  nnncan2  8565  npncan3  8566  addsub4  8571  subadd4  8572  peano2cnm  8594  subcli  8604  subcld  8639  subeqrev  8704  subdi  8714  subdir  8715  mulsub2  8731  recextlem1  8982  recexap  8984  div2subap  9170  cju  9294  ofnegsub  9295  halfaddsubcl  9543  halfaddsub  9544  iccf1o  10418  ser3sub  10974  sqsubswap  11050  subsq  11097  subsq2  11098  bcn2  11217  pfxccatin12lem1  11515  pfxccatin12lem2  11518  shftval2  11606  2shfti  11611  sqabssub  11837  abssub  11883  abs3dif  11887  abs2dif  11888  abs2difabs  11890  climuni  12077  cjcn2  12100  recn2  12101  imcn2  12102  climsub  12112  fisum0diag2  12232  arisum2  12284  geosergap  12291  geolim  12296  geolim2  12297  georeclim  12298  geo2sum  12299  tanaddap  12524  addsin  12527  fzocongeq  12643  odd2np1  12658  phiprm  13023  pythagtriplem4  13069  pythagtriplem12  13076  pythagtriplem14  13078  fldivp1  13149  4sqlem19  13210  cnmet  15683  dveflem  15879  dvef  15880  efimpi  15973  ptolemy  15978  tangtx  15992  abssinper  16000  birthdaylem2  16148  1sgm2ppw  16211  perfect1  16220  lgsquad2  16324