Theorem subcl 8185

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8178	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8177	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 5865	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2266	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∃!wreu 2470  ℩crio 5850  (class class class)co 5895  ℂcc 7838   + caddc 7843   − cmin 8157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-setind 4554  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-sub 8159

This theorem is referenced by:  negcl  8186  subf  8188  pncan3  8194  npcan  8195  addsubass  8196  addsub  8197  addsub12  8199  addsubeq4  8201  npncan  8207  nppcan  8208  nnpcan  8209  nppcan3  8210  subcan2  8211  subsub2  8214  subsub4  8219  nnncan  8221  nnncan1  8222  nnncan2  8223  npncan3  8224  addsub4  8229  subadd4  8230  peano2cnm  8252  subcli  8262  subcld  8297  subeqrev  8362  subdi  8371  subdir  8372  mulsub2  8388  recextlem1  8637  recexap  8639  div2subap  8823  cju  8947  halfaddsubcl  9181  halfaddsub  9182  iccf1o  10033  ser3sub  10536  sqsubswap  10610  subsq  10657  subsq2  10658  bcn2  10775  shftval2  10866  2shfti  10871  sqabssub  11096  abssub  11141  abs3dif  11145  abs2dif  11146  abs2difabs  11148  climuni  11332  cjcn2  11355  recn2  11356  imcn2  11357  climsub  11367  fisum0diag2  11486  arisum2  11538  geosergap  11545  geolim  11550  geolim2  11551  georeclim  11552  geo2sum  11553  tanaddap  11778  addsin  11781  fzocongeq  11895  odd2np1  11909  phiprm  12254  pythagtriplem4  12299  pythagtriplem12  12306  pythagtriplem14  12308  fldivp1  12379  4sqlem19  12440  cnmet  14482  dveflem  14639  dvef  14640  efimpi  14692  ptolemy  14697  tangtx  14711  abssinper  14719