Theorem subcl 8489

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 6027	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃!wreu 2524  ℩crio 6010  (class class class)co 6058  ℂcc 8141   + caddc 8146   − cmin 8461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8463

This theorem is referenced by:  negcl  8490  subf  8492  pncan3  8498  npcan  8499  addsubass  8500  addsub  8501  addsub12  8503  addsubeq4  8505  npncan  8511  nppcan  8512  nnpcan  8513  nppcan3  8514  subcan2  8515  subsub2  8518  subsub4  8523  nnncan  8525  nnncan1  8526  nnncan2  8527  npncan3  8528  addsub4  8533  subadd4  8534  peano2cnm  8556  subcli  8566  subcld  8601  subeqrev  8666  subdi  8676  subdir  8677  mulsub2  8693  recextlem1  8943  recexap  8945  div2subap  9131  cju  9255  ofnegsub  9256  halfaddsubcl  9491  halfaddsub  9492  iccf1o  10360  ser3sub  10912  sqsubswap  10988  subsq  11035  subsq2  11036  bcn2  11154  pfxccatin12lem1  11448  pfxccatin12lem2  11451  shftval2  11539  2shfti  11544  sqabssub  11770  abssub  11815  abs3dif  11819  abs2dif  11820  abs2difabs  11822  climuni  12007  cjcn2  12030  recn2  12031  imcn2  12032  climsub  12042  fisum0diag2  12162  arisum2  12214  geosergap  12221  geolim  12226  geolim2  12227  georeclim  12228  geo2sum  12229  tanaddap  12454  addsin  12457  fzocongeq  12573  odd2np1  12588  phiprm  12949  pythagtriplem4  12995  pythagtriplem12  13002  pythagtriplem14  13004  fldivp1  13075  4sqlem19  13136  cnmet  15525  dveflem  15721  dvef  15722  efimpi  15814  ptolemy  15819  tangtx  15833  abssinper  15841  1sgm2ppw  15993  perfect1  15996  lgsquad2  16086