Theorem subcl 8353

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8346	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8345	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 5976	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2306	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃!wreu 2510  ℩crio 5959  (class class class)co 6007  ℂcc 8005   + caddc 8010   − cmin 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8327

This theorem is referenced by:  negcl  8354  subf  8356  pncan3  8362  npcan  8363  addsubass  8364  addsub  8365  addsub12  8367  addsubeq4  8369  npncan  8375  nppcan  8376  nnpcan  8377  nppcan3  8378  subcan2  8379  subsub2  8382  subsub4  8387  nnncan  8389  nnncan1  8390  nnncan2  8391  npncan3  8392  addsub4  8397  subadd4  8398  peano2cnm  8420  subcli  8430  subcld  8465  subeqrev  8530  subdi  8539  subdir  8540  mulsub2  8556  recextlem1  8806  recexap  8808  div2subap  8992  cju  9116  ofnegsub  9117  halfaddsubcl  9352  halfaddsub  9353  iccf1o  10208  ser3sub  10753  sqsubswap  10829  subsq  10876  subsq2  10877  bcn2  10994  pfxccatin12lem1  11268  pfxccatin12lem2  11271  shftval2  11345  2shfti  11350  sqabssub  11575  abssub  11620  abs3dif  11624  abs2dif  11625  abs2difabs  11627  climuni  11812  cjcn2  11835  recn2  11836  imcn2  11837  climsub  11847  fisum0diag2  11966  arisum2  12018  geosergap  12025  geolim  12030  geolim2  12031  georeclim  12032  geo2sum  12033  tanaddap  12258  addsin  12261  fzocongeq  12377  odd2np1  12392  phiprm  12753  pythagtriplem4  12799  pythagtriplem12  12806  pythagtriplem14  12808  fldivp1  12879  4sqlem19  12940  cnmet  15212  dveflem  15408  dvef  15409  efimpi  15501  ptolemy  15506  tangtx  15520  abssinper  15528  1sgm2ppw  15677  perfect1  15680  lgsquad2  15770