Theorem subcl 8156

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8148	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 5845	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2254	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃!wreu 2457  ℩crio 5830  (class class class)co 5875  ℂcc 7809   + caddc 7814   − cmin 8128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-setind 4537  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-sub 8130

This theorem is referenced by:  negcl  8157  subf  8159  pncan3  8165  npcan  8166  addsubass  8167  addsub  8168  addsub12  8170  addsubeq4  8172  npncan  8178  nppcan  8179  nnpcan  8180  nppcan3  8181  subcan2  8182  subsub2  8185  subsub4  8190  nnncan  8192  nnncan1  8193  nnncan2  8194  npncan3  8195  addsub4  8200  subadd4  8201  peano2cnm  8223  subcli  8233  subcld  8268  subeqrev  8333  subdi  8342  subdir  8343  mulsub2  8359  recextlem1  8608  recexap  8610  div2subap  8794  cju  8918  halfaddsubcl  9152  halfaddsub  9153  iccf1o  10004  ser3sub  10506  sqsubswap  10580  subsq  10627  subsq2  10628  bcn2  10744  shftval2  10835  2shfti  10840  sqabssub  11065  abssub  11110  abs3dif  11114  abs2dif  11115  abs2difabs  11117  climuni  11301  cjcn2  11324  recn2  11325  imcn2  11326  climsub  11336  fisum0diag2  11455  arisum2  11507  geosergap  11514  geolim  11519  geolim2  11520  georeclim  11521  geo2sum  11522  tanaddap  11747  addsin  11750  fzocongeq  11864  odd2np1  11878  phiprm  12223  pythagtriplem4  12268  pythagtriplem12  12275  pythagtriplem14  12277  fldivp1  12346  cnmet  14033  dveflem  14190  dvef  14191  efimpi  14243  ptolemy  14248  tangtx  14262  abssinper  14270