Theorem subcl 8533

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8526	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8525	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 6057	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2315	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃!wreu 2530  ℩crio 6040  (class class class)co 6088  ℂcc 8184   + caddc 8189   − cmin 8505

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8507

This theorem is used by:  negcl  8534  subf  8536  pncan3  8542  npcan  8543  addsubass  8544  addsub  8545  addsub12  8547  addsubeq4  8549  npncan  8555  nppcan  8556  nnpcan  8557  nppcan3  8558  subcan2  8559  subsub2  8562  subsub4  8567  nnncan  8569  nnncan1  8570  nnncan2  8571  npncan3  8572  addsub4  8577  subadd4  8578  peano2cnm  8600  subcli  8610  subcld  8645  subeqrev  8710  subdi  8720  subdir  8721  mulsub2  8737  recextlem1  8988  recexap  8990  div2subap  9176  cju  9300  ofsubeq0  9301  ofnegsub  9302  halfaddsubcl  9550  halfaddsub  9551  iccf1o  10425  ser3sub  10982  sqsubswap  11058  subsq  11105  subsq2  11106  bcn2  11225  pfxccatin12lem1  11523  pfxccatin12lem2  11526  shftval2  11614  2shfti  11619  sqabssub  11845  abssub  11891  abs3dif  11895  abs2dif  11896  abs2difabs  11898  climuni  12085  cjcn2  12108  recn2  12109  imcn2  12110  climsub  12120  fisum0diag2  12240  arisum2  12292  geosergap  12299  geolim  12304  geolim2  12305  georeclim  12306  geo2sum  12307  tanaddap  12532  addsin  12535  fzocongeq  12651  odd2np1  12666  phiprm  13031  pythagtriplem4  13077  pythagtriplem12  13084  pythagtriplem14  13086  fldivp1  13157  4sqlem19  13218  cnmet  15768  dveflem  15964  dvef  15965  efimpi  16058  ptolemy  16063  tangtx  16077  abssinper  16085  birthdaylem2  16238  1sgm2ppw  16301  perfect1  16310  bposlem9  16331  lgsquad2  16419