Theorem subcl 8105

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8098	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8097	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 266	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 5820	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2247	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∃!wreu 2450  ℩crio 5805  (class class class)co 5850  ℂcc 7759   + caddc 7764   − cmin 8077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-setind 4519  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-sub 8079

This theorem is referenced by:  negcl  8106  subf  8108  pncan3  8114  npcan  8115  addsubass  8116  addsub  8117  addsub12  8119  addsubeq4  8121  npncan  8127  nppcan  8128  nnpcan  8129  nppcan3  8130  subcan2  8131  subsub2  8134  subsub4  8139  nnncan  8141  nnncan1  8142  nnncan2  8143  npncan3  8144  addsub4  8149  subadd4  8150  peano2cnm  8172  subcli  8182  subcld  8217  subeqrev  8282  subdi  8291  subdir  8292  mulsub2  8308  recextlem1  8556  recexap  8558  div2subap  8741  cju  8864  halfaddsubcl  9098  halfaddsub  9099  iccf1o  9948  ser3sub  10449  sqsubswap  10523  subsq  10569  subsq2  10570  bcn2  10685  shftval2  10777  2shfti  10782  sqabssub  11007  abssub  11052  abs3dif  11056  abs2dif  11057  abs2difabs  11059  climuni  11243  cjcn2  11266  recn2  11267  imcn2  11268  climsub  11278  fisum0diag2  11397  arisum2  11449  geosergap  11456  geolim  11461  geolim2  11462  georeclim  11463  geo2sum  11464  tanaddap  11689  addsin  11692  fzocongeq  11805  odd2np1  11819  phiprm  12164  pythagtriplem4  12209  pythagtriplem12  12216  pythagtriplem14  12218  fldivp1  12287  cnmet  13245  dveflem  13402  dvef  13403  efimpi  13455  ptolemy  13460  tangtx  13474  abssinper  13482