Theorem subcl 8333

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8326	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8325	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 5963	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2306	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃!wreu 2510  ℩crio 5946  (class class class)co 5994  ℂcc 7985   + caddc 7990   − cmin 8305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4626  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-sub 8307

This theorem is referenced by:  negcl  8334  subf  8336  pncan3  8342  npcan  8343  addsubass  8344  addsub  8345  addsub12  8347  addsubeq4  8349  npncan  8355  nppcan  8356  nnpcan  8357  nppcan3  8358  subcan2  8359  subsub2  8362  subsub4  8367  nnncan  8369  nnncan1  8370  nnncan2  8371  npncan3  8372  addsub4  8377  subadd4  8378  peano2cnm  8400  subcli  8410  subcld  8445  subeqrev  8510  subdi  8519  subdir  8520  mulsub2  8536  recextlem1  8786  recexap  8788  div2subap  8972  cju  9096  ofnegsub  9097  halfaddsubcl  9332  halfaddsub  9333  iccf1o  10188  ser3sub  10732  sqsubswap  10808  subsq  10855  subsq2  10856  bcn2  10973  pfxccatin12lem1  11246  pfxccatin12lem2  11249  shftval2  11323  2shfti  11328  sqabssub  11553  abssub  11598  abs3dif  11602  abs2dif  11603  abs2difabs  11605  climuni  11790  cjcn2  11813  recn2  11814  imcn2  11815  climsub  11825  fisum0diag2  11944  arisum2  11996  geosergap  12003  geolim  12008  geolim2  12009  georeclim  12010  geo2sum  12011  tanaddap  12236  addsin  12239  fzocongeq  12355  odd2np1  12370  phiprm  12731  pythagtriplem4  12777  pythagtriplem12  12784  pythagtriplem14  12786  fldivp1  12857  4sqlem19  12918  cnmet  15189  dveflem  15385  dvef  15386  efimpi  15478  ptolemy  15483  tangtx  15497  abssinper  15505  1sgm2ppw  15654  perfect1  15657  lgsquad2  15747