Theorem subcl 8378

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8371	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8370	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 5987	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2308	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃!wreu 2512  ℩crio 5970  (class class class)co 6018  ℂcc 8030   + caddc 8035   − cmin 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-sub 8352

This theorem is referenced by:  negcl  8379  subf  8381  pncan3  8387  npcan  8388  addsubass  8389  addsub  8390  addsub12  8392  addsubeq4  8394  npncan  8400  nppcan  8401  nnpcan  8402  nppcan3  8403  subcan2  8404  subsub2  8407  subsub4  8412  nnncan  8414  nnncan1  8415  nnncan2  8416  npncan3  8417  addsub4  8422  subadd4  8423  peano2cnm  8445  subcli  8455  subcld  8490  subeqrev  8555  subdi  8564  subdir  8565  mulsub2  8581  recextlem1  8831  recexap  8833  div2subap  9017  cju  9141  ofnegsub  9142  halfaddsubcl  9377  halfaddsub  9378  iccf1o  10239  ser3sub  10786  sqsubswap  10862  subsq  10909  subsq2  10910  bcn2  11027  pfxccatin12lem1  11313  pfxccatin12lem2  11316  shftval2  11391  2shfti  11396  sqabssub  11621  abssub  11666  abs3dif  11670  abs2dif  11671  abs2difabs  11673  climuni  11858  cjcn2  11881  recn2  11882  imcn2  11883  climsub  11893  fisum0diag2  12013  arisum2  12065  geosergap  12072  geolim  12077  geolim2  12078  georeclim  12079  geo2sum  12080  tanaddap  12305  addsin  12308  fzocongeq  12424  odd2np1  12439  phiprm  12800  pythagtriplem4  12846  pythagtriplem12  12853  pythagtriplem14  12855  fldivp1  12926  4sqlem19  12987  cnmet  15260  dveflem  15456  dvef  15457  efimpi  15549  ptolemy  15554  tangtx  15568  abssinper  15576  1sgm2ppw  15725  perfect1  15728  lgsquad2  15818