Theorem subcl 8371

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8364	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8363	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 5982	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2306	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃!wreu 2510  ℩crio 5965  (class class class)co 6013  ℂcc 8023   + caddc 8028   − cmin 8343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sub 8345

This theorem is referenced by:  negcl  8372  subf  8374  pncan3  8380  npcan  8381  addsubass  8382  addsub  8383  addsub12  8385  addsubeq4  8387  npncan  8393  nppcan  8394  nnpcan  8395  nppcan3  8396  subcan2  8397  subsub2  8400  subsub4  8405  nnncan  8407  nnncan1  8408  nnncan2  8409  npncan3  8410  addsub4  8415  subadd4  8416  peano2cnm  8438  subcli  8448  subcld  8483  subeqrev  8548  subdi  8557  subdir  8558  mulsub2  8574  recextlem1  8824  recexap  8826  div2subap  9010  cju  9134  ofnegsub  9135  halfaddsubcl  9370  halfaddsub  9371  iccf1o  10232  ser3sub  10778  sqsubswap  10854  subsq  10901  subsq2  10902  bcn2  11019  pfxccatin12lem1  11302  pfxccatin12lem2  11305  shftval2  11380  2shfti  11385  sqabssub  11610  abssub  11655  abs3dif  11659  abs2dif  11660  abs2difabs  11662  climuni  11847  cjcn2  11870  recn2  11871  imcn2  11872  climsub  11882  fisum0diag2  12001  arisum2  12053  geosergap  12060  geolim  12065  geolim2  12066  georeclim  12067  geo2sum  12068  tanaddap  12293  addsin  12296  fzocongeq  12412  odd2np1  12427  phiprm  12788  pythagtriplem4  12834  pythagtriplem12  12841  pythagtriplem14  12843  fldivp1  12914  4sqlem19  12975  cnmet  15247  dveflem  15443  dvef  15444  efimpi  15536  ptolemy  15541  tangtx  15555  abssinper  15563  1sgm2ppw  15712  perfect1  15715  lgsquad2  15805