Theorem subcl 8220

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8213	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8212	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 5889	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2270	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃!wreu 2474  ℩crio 5873  (class class class)co 5919  ℂcc 7872   + caddc 7877   − cmin 8192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sub 8194

This theorem is referenced by:  negcl  8221  subf  8223  pncan3  8229  npcan  8230  addsubass  8231  addsub  8232  addsub12  8234  addsubeq4  8236  npncan  8242  nppcan  8243  nnpcan  8244  nppcan3  8245  subcan2  8246  subsub2  8249  subsub4  8254  nnncan  8256  nnncan1  8257  nnncan2  8258  npncan3  8259  addsub4  8264  subadd4  8265  peano2cnm  8287  subcli  8297  subcld  8332  subeqrev  8397  subdi  8406  subdir  8407  mulsub2  8423  recextlem1  8672  recexap  8674  div2subap  8858  cju  8982  ofnegsub  8983  halfaddsubcl  9218  halfaddsub  9219  iccf1o  10073  ser3sub  10597  sqsubswap  10673  subsq  10720  subsq2  10721  bcn2  10838  shftval2  10973  2shfti  10978  sqabssub  11203  abssub  11248  abs3dif  11252  abs2dif  11253  abs2difabs  11255  climuni  11439  cjcn2  11462  recn2  11463  imcn2  11464  climsub  11474  fisum0diag2  11593  arisum2  11645  geosergap  11652  geolim  11657  geolim2  11658  georeclim  11659  geo2sum  11660  tanaddap  11885  addsin  11888  fzocongeq  12003  odd2np1  12017  phiprm  12364  pythagtriplem4  12409  pythagtriplem12  12416  pythagtriplem14  12418  fldivp1  12489  4sqlem19  12550  cnmet  14709  dveflem  14905  dvef  14906  efimpi  14995  ptolemy  15000  tangtx  15014  abssinper  15022  lgsquad2  15240