Theorem subcl 8218

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8211	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8210	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 5888	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2270	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃!wreu 2474  ℩crio 5872  (class class class)co 5918  ℂcc 7870   + caddc 7875   − cmin 8190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192

This theorem is referenced by:  negcl  8219  subf  8221  pncan3  8227  npcan  8228  addsubass  8229  addsub  8230  addsub12  8232  addsubeq4  8234  npncan  8240  nppcan  8241  nnpcan  8242  nppcan3  8243  subcan2  8244  subsub2  8247  subsub4  8252  nnncan  8254  nnncan1  8255  nnncan2  8256  npncan3  8257  addsub4  8262  subadd4  8263  peano2cnm  8285  subcli  8295  subcld  8330  subeqrev  8395  subdi  8404  subdir  8405  mulsub2  8421  recextlem1  8670  recexap  8672  div2subap  8856  cju  8980  ofnegsub  8981  halfaddsubcl  9215  halfaddsub  9216  iccf1o  10070  ser3sub  10594  sqsubswap  10670  subsq  10717  subsq2  10718  bcn2  10835  shftval2  10970  2shfti  10975  sqabssub  11200  abssub  11245  abs3dif  11249  abs2dif  11250  abs2difabs  11252  climuni  11436  cjcn2  11459  recn2  11460  imcn2  11461  climsub  11471  fisum0diag2  11590  arisum2  11642  geosergap  11649  geolim  11654  geolim2  11655  georeclim  11656  geo2sum  11657  tanaddap  11882  addsin  11885  fzocongeq  12000  odd2np1  12014  phiprm  12361  pythagtriplem4  12406  pythagtriplem12  12413  pythagtriplem14  12415  fldivp1  12486  4sqlem19  12547  cnmet  14698  dveflem  14872  dvef  14873  efimpi  14954  ptolemy  14959  tangtx  14973  abssinper  14981