Theorem subcl 8284

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8276	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 5924	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2283	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃!wreu 2487  ℩crio 5908  (class class class)co 5954  ℂcc 7936   + caddc 7941   − cmin 8256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-setind 4590  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-cnre 8049

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-opab 4111  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-sub 8258

This theorem is referenced by:  negcl  8285  subf  8287  pncan3  8293  npcan  8294  addsubass  8295  addsub  8296  addsub12  8298  addsubeq4  8300  npncan  8306  nppcan  8307  nnpcan  8308  nppcan3  8309  subcan2  8310  subsub2  8313  subsub4  8318  nnncan  8320  nnncan1  8321  nnncan2  8322  npncan3  8323  addsub4  8328  subadd4  8329  peano2cnm  8351  subcli  8361  subcld  8396  subeqrev  8461  subdi  8470  subdir  8471  mulsub2  8487  recextlem1  8737  recexap  8739  div2subap  8923  cju  9047  ofnegsub  9048  halfaddsubcl  9283  halfaddsub  9284  iccf1o  10139  ser3sub  10681  sqsubswap  10757  subsq  10804  subsq2  10805  bcn2  10922  shftval2  11187  2shfti  11192  sqabssub  11417  abssub  11462  abs3dif  11466  abs2dif  11467  abs2difabs  11469  climuni  11654  cjcn2  11677  recn2  11678  imcn2  11679  climsub  11689  fisum0diag2  11808  arisum2  11860  geosergap  11867  geolim  11872  geolim2  11873  georeclim  11874  geo2sum  11875  tanaddap  12100  addsin  12103  fzocongeq  12219  odd2np1  12234  phiprm  12595  pythagtriplem4  12641  pythagtriplem12  12648  pythagtriplem14  12650  fldivp1  12721  4sqlem19  12782  cnmet  15052  dveflem  15248  dvef  15249  efimpi  15341  ptolemy  15346  tangtx  15360  abssinper  15368  1sgm2ppw  15517  perfect1  15520  lgsquad2  15610