Theorem subcl 8155

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8147	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 5844	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2254	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃!wreu 2457  ℩crio 5829  (class class class)co 5874  ℂcc 7808   + caddc 7813   − cmin 8127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-setind 4536  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-sub 8129

This theorem is referenced by:  negcl  8156  subf  8158  pncan3  8164  npcan  8165  addsubass  8166  addsub  8167  addsub12  8169  addsubeq4  8171  npncan  8177  nppcan  8178  nnpcan  8179  nppcan3  8180  subcan2  8181  subsub2  8184  subsub4  8189  nnncan  8191  nnncan1  8192  nnncan2  8193  npncan3  8194  addsub4  8199  subadd4  8200  peano2cnm  8222  subcli  8232  subcld  8267  subeqrev  8332  subdi  8341  subdir  8342  mulsub2  8358  recextlem1  8607  recexap  8609  div2subap  8793  cju  8917  halfaddsubcl  9151  halfaddsub  9152  iccf1o  10003  ser3sub  10505  sqsubswap  10579  subsq  10626  subsq2  10627  bcn2  10743  shftval2  10834  2shfti  10839  sqabssub  11064  abssub  11109  abs3dif  11113  abs2dif  11114  abs2difabs  11116  climuni  11300  cjcn2  11323  recn2  11324  imcn2  11325  climsub  11335  fisum0diag2  11454  arisum2  11506  geosergap  11513  geolim  11518  geolim2  11519  georeclim  11520  geo2sum  11521  tanaddap  11746  addsin  11749  fzocongeq  11863  odd2np1  11877  phiprm  12222  pythagtriplem4  12267  pythagtriplem12  12274  pythagtriplem14  12276  fldivp1  12345  cnmet  14000  dveflem  14157  dvef  14158  efimpi  14210  ptolemy  14215  tangtx  14229  abssinper  14237