Theorem subcl 8421

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8413	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 5997	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2308	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∃!wreu 2513  ℩crio 5980  (class class class)co 6028  ℂcc 8073   + caddc 8078   − cmin 8393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8395

This theorem is referenced by:  negcl  8422  subf  8424  pncan3  8430  npcan  8431  addsubass  8432  addsub  8433  addsub12  8435  addsubeq4  8437  npncan  8443  nppcan  8444  nnpcan  8445  nppcan3  8446  subcan2  8447  subsub2  8450  subsub4  8455  nnncan  8457  nnncan1  8458  nnncan2  8459  npncan3  8460  addsub4  8465  subadd4  8466  peano2cnm  8488  subcli  8498  subcld  8533  subeqrev  8598  subdi  8607  subdir  8608  mulsub2  8624  recextlem1  8874  recexap  8876  div2subap  9060  cju  9184  ofnegsub  9185  halfaddsubcl  9420  halfaddsub  9421  iccf1o  10282  ser3sub  10829  sqsubswap  10905  subsq  10952  subsq2  10953  bcn2  11070  pfxccatin12lem1  11356  pfxccatin12lem2  11359  shftval2  11447  2shfti  11452  sqabssub  11677  abssub  11722  abs3dif  11726  abs2dif  11727  abs2difabs  11729  climuni  11914  cjcn2  11937  recn2  11938  imcn2  11939  climsub  11949  fisum0diag2  12069  arisum2  12121  geosergap  12128  geolim  12133  geolim2  12134  georeclim  12135  geo2sum  12136  tanaddap  12361  addsin  12364  fzocongeq  12480  odd2np1  12495  phiprm  12856  pythagtriplem4  12902  pythagtriplem12  12909  pythagtriplem14  12911  fldivp1  12982  4sqlem19  13043  cnmet  15321  dveflem  15517  dvef  15518  efimpi  15610  ptolemy  15615  tangtx  15629  abssinper  15637  1sgm2ppw  15789  perfect1  15792  lgsquad2  15882