Theorem subcl 8242

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 8235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		negeu 8234	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 5895	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 5	eqeltrd 2273	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃!wreu 2477  ℩crio 5879  (class class class)co 5925  ℂcc 7894   + caddc 7899   − cmin 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8216

This theorem is referenced by:  negcl  8243  subf  8245  pncan3  8251  npcan  8252  addsubass  8253  addsub  8254  addsub12  8256  addsubeq4  8258  npncan  8264  nppcan  8265  nnpcan  8266  nppcan3  8267  subcan2  8268  subsub2  8271  subsub4  8276  nnncan  8278  nnncan1  8279  nnncan2  8280  npncan3  8281  addsub4  8286  subadd4  8287  peano2cnm  8309  subcli  8319  subcld  8354  subeqrev  8419  subdi  8428  subdir  8429  mulsub2  8445  recextlem1  8695  recexap  8697  div2subap  8881  cju  9005  ofnegsub  9006  halfaddsubcl  9241  halfaddsub  9242  iccf1o  10096  ser3sub  10632  sqsubswap  10708  subsq  10755  subsq2  10756  bcn2  10873  shftval2  11008  2shfti  11013  sqabssub  11238  abssub  11283  abs3dif  11287  abs2dif  11288  abs2difabs  11290  climuni  11475  cjcn2  11498  recn2  11499  imcn2  11500  climsub  11510  fisum0diag2  11629  arisum2  11681  geosergap  11688  geolim  11693  geolim2  11694  georeclim  11695  geo2sum  11696  tanaddap  11921  addsin  11924  fzocongeq  12040  odd2np1  12055  phiprm  12416  pythagtriplem4  12462  pythagtriplem12  12469  pythagtriplem14  12471  fldivp1  12542  4sqlem19  12603  cnmet  14850  dveflem  15046  dvef  15047  efimpi  15139  ptolemy  15144  tangtx  15158  abssinper  15166  1sgm2ppw  15315  perfect1  15318  lgsquad2  15408