Theorem divclap 8863

Description: Closure law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divclap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem divclap

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divvalap 8859	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
2		receuap 8854	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
3		riotacl 5992	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	eqeltrd 2307	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∃!wreu 2511   class class class wbr 4089  ℩crio 5975  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  0cc0 8037   · cmul 8042   # cap 8766   / cdiv 8857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858

This theorem is referenced by:  recclap  8864  divcanap2  8865  divcanap1  8866  divap0b  8868  div23ap  8876  div12ap  8879  divmulasscomap  8881  div11ap  8885  divsubdirap  8893  divmuldivap  8897  divdivdivap  8898  divcanap5  8899  divmuleqap  8902  divcanap6  8904  divdiv32ap  8905  dmdcanap  8907  ddcanap  8911  divsubdivap  8913  div2negap  8920  divclapzi  8932  divclapi  8939  divclapd  8975  nndivtr  9190  halfcl  9375  sqdivap  10871  cjdivap  11492  absdivap  11653  sinf  12288  efi4p  12301  dvrecap  15466