ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divclap GIF version

Theorem divclap 8061
Description: Closure law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
divclap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem divclap
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divvalap 8057 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
2 receuap 8054 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
3 riotacl 5564 . . 3 (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
42, 3syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
51, 4eqeltrd 2161 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  ∃!wreu 2357   class class class wbr 3814  crio 5549  (class class class)co 5594  cc 7269  0cc0 7271   · cmul 7276   # cap 7976   / cdiv 8055
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056
This theorem is referenced by:  recclap  8062  divcanap2  8063  divcanap1  8064  divap0b  8066  div23ap  8074  div12ap  8077  divmulasscomap  8079  div11ap  8083  divsubdirap  8091  divmuldivap  8095  divdivdivap  8096  divcanap5  8097  divmuleqap  8100  divcanap6  8102  divdiv32ap  8103  dmdcanap  8105  ddcanap  8109  divsubdivap  8111  div2negap  8118  divclapzi  8130  divclapi  8137  divclapd  8172  nndivtr  8375  halfcl  8552  sqdivap  9870  cjdivap  10184  absdivap  10344
  Copyright terms: Public domain W3C validator