Theorem divvalap 8693

Description: Value of division: the (unique) element 𝑥 such that (𝐵 · 𝑥) = 𝐴. This is meaningful only when 𝐵 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divvalap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem divvalap

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp2 1000	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		0cn 8011	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		apne 8642	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐵 # 0 → 𝐵 ≠ 0))
5	3, 4	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 # 0 → 𝐵 ≠ 0))
6	5	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 # 0 → 𝐵 ≠ 0))
7	6	3impia 1202	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 ≠ 0)
8		eldifsn 3745	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
9	2, 7, 8	sylanbrc 417	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
10		receuap 8688	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
11		riotacl 5888	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
13		eqeq2 2203	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑦 · 𝑥) = 𝑧 ↔ (𝑦 · 𝑥) = 𝐴))
14	13	riotabidv 5875	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑥) = 𝑧) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑥) = 𝐴))
15		oveq1 5925	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑥))
16	15	eqeq1d 2202	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
17	16	riotabidv 5875	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
18		df-div 8692	. . 3 ⊢ / = (𝑧 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑥) = 𝑧))
19	14, 17, 18	ovmpog 6053	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 / 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
20	1, 9, 12, 19	syl3anc 1249	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∃!wreu 2474   ∖ cdif 3150  {csn 3618   class class class wbr 4029  ℩crio 5872  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  0cc0 7872   · cmul 7877   # cap 8600   / cdiv 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692

This theorem is referenced by:  divmulap  8694  divclap  8697