Theorem divvalap 8570

Description: Value of division: the (unique) element 𝑥 such that (𝐵 · 𝑥) = 𝐴. This is meaningful only when 𝐵 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divvalap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem divvalap

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 987	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp2 988	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		0cn 7891	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		apne 8521	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐵 # 0 → 𝐵 ≠ 0))
5	3, 4	mpan2 422	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 # 0 → 𝐵 ≠ 0))
6	5	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 # 0 → 𝐵 ≠ 0))
7	6	3impia 1190	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 ≠ 0)
8		eldifsn 3703	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
9	2, 7, 8	sylanbrc 414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
10		receuap 8566	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
11		riotacl 5812	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
13		eqeq2 2175	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑦 · 𝑥) = 𝑧 ↔ (𝑦 · 𝑥) = 𝐴))
14	13	riotabidv 5800	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑥) = 𝑧) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑥) = 𝐴))
15		oveq1 5849	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑥))
16	15	eqeq1d 2174	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
17	16	riotabidv 5800	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (℩𝑥 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
18		df-div 8569	. . 3 ⊢ / = (𝑧 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑥) = 𝑧))
19	14, 17, 18	ovmpog 5976	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 / 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
20	1, 9, 12, 19	syl3anc 1228	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ∃!wreu 2446   ∖ cdif 3113  {csn 3576   class class class wbr 3982  ℩crio 5797  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  0cc0 7753   · cmul 7758   # cap 8479   / cdiv 8568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569

This theorem is referenced by:  divmulap  8571  divclap  8574