Theorem flqcl 10718

Description: The floor (greatest integer) function yields an integer when applied to a rational (closure law). For a similar closure law for real numbers which are either rational or irrational, see flapcl 10721. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqcl	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flqcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 10034	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flval 10717	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
4		qbtwnz 10696	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
5		riotacl 6054	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃!wreu 2530   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  ℩crio 6037  (class class class)co 6085  ℝcr 8178  1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360   ≤ cle 8361  ℤcz 9648  ℚcq 10028  ⌊cfl 10713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649  df-q 10029  df-rp 10065  df-fl 10715

This theorem is used by:  flapcl  10721  flqlelt  10722  flqcld  10724  qfraclt1  10727  qfracge0  10728  flqidm  10733  flqidz  10734  flqge0nn0  10741  flqge1nn  10742  flqaddz  10745  flqzadd  10746  flqmulnn0  10747  fldiv4lem1div2  10755  ceilqval  10756  flqleceil  10767  flqeqceilz  10768  intqfrac2  10769  flqdiv  10771  modqfrac  10787  flqmod  10788  intqfrac  10789  modqmulnn  10792  ppiqsval  16156  ppiqfi  16158  ppiqfl  16172  ppiqp1le  16173  ppiqeq0  16182  ppiqub  16194