Theorem flqcl 10505

Description: The floor (greatest integer) function yields an integer when applied to a rational (closure law). For a similar closure law for real numbers apart from any integer, see flapcl 10507. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqcl	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flqcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9832	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flval 10504	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
4		qbtwnz 10483	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
5		riotacl 5976	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) ∈ ℤ)
7	3, 6	eqeltrd 2306	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃!wreu 2510   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  ℩crio 5959  (class class class)co 6007  ℝcr 8009  1c1 8011   + caddc 8013   < clt 8192   ≤ cle 8193  ℤcz 9457  ℚcq 9826  ⌊cfl 10500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-q 9827  df-rp 9862  df-fl 10502

This theorem is referenced by:  flqlelt  10508  flqcld  10509  qfraclt1  10512  qfracge0  10513  flqidm  10517  flqidz  10518  flqge0nn0  10525  flqge1nn  10526  flqaddz  10529  flqzadd  10530  flqmulnn0  10531  fldiv4lem1div2  10539  ceilqval  10540  flqleceil  10551  flqeqceilz  10552  intqfrac2  10553  flqdiv  10555  modqfrac  10571  flqmod  10572  intqfrac  10573  modqmulnn  10576