ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqcl GIF version

Theorem flqcl 9568
Description: The floor (greatest integer) function yields an integer when applied to a rational (closure law). For a similar closure law for real numbers apart from any integer, see flapcl 9570. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqcl (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flqcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qre 9004 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 flval 9567 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
31, 2syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
4 qbtwnz 9551 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
5 riotacl 5560 . . 3 (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) → (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ∈ ℤ)
64, 5syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) ∈ ℤ)
73, 6eqeltrd 2159 1 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  ∃!wreu 2355   class class class wbr 3811  cfv 4968  crio 5545  (class class class)co 5590  cr 7251  1c1 7253   + caddc 7255   < clt 7424  cle 7425  cz 8645  cq 8998  cfl 9563
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-mulrcl 7346  ax-addcom 7347  ax-mulcom 7348  ax-addass 7349  ax-mulass 7350  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-1rid 7354  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-precex 7357  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-apti 7362  ax-pre-ltadd 7363  ax-pre-mulgt0 7364  ax-pre-mulext 7365  ax-arch 7366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-1st 5845  df-2nd 5846  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-reap 7951  df-ap 7958  df-div 8037  df-inn 8316  df-n0 8565  df-z 8646  df-q 8999  df-rp 9029  df-fl 9565
This theorem is referenced by:  flqlelt  9571  flqcld  9572  qfraclt1  9575  qfracge0  9576  flqidm  9580  flqidz  9581  flqge0nn0  9588  flqge1nn  9589  flqaddz  9592  flqzadd  9593  flqmulnn0  9594  ceilqval  9601  flqleceil  9612  flqeqceilz  9613  intqfrac2  9614  flqdiv  9616  modqfrac  9632  flqmod  9633  intqfrac  9634  modqmulnn  9637
  Copyright terms: Public domain W3C validator