Theorem oddpwdc 11594

Description: The function 𝐹 that decomposes a number into its "odd" and "even" parts, which is to say the largest power of two and largest odd divisor of a number, is a bijection from pairs of a nonnegative integer and an odd number to positive integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oddpwdc.j	⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
oddpwdc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
oddpwdc	⊢ 𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐽,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem oddpwdc

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddpwdc.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
2		2cnd 8593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
3		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
4	2, 3	expcld 10217	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (2↑𝑦) ∈ ℂ)
5		breq2 3871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ 𝑥))
6	5	notbid 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑥))
7		oddpwdc.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
8	6, 7	elrab2 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥))
9	8	simplbi 269	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ∈ ℕ)
10	9	adantr 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 8534	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
12	4, 11	mulcld 7605	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑦) · 𝑥) ∈ ℂ)
13	12	adantl 272	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((2↑𝑦) · 𝑥) ∈ ℂ)
14		nnnn0 8778	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
15		2nn 8675	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
16		pw2dvdseu 11588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎))
17		riotacl 5660	. . . . . . . 8 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)) ∈ ℕ0)
19		nnexpcl 10099	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)) ∈ ℕ0) → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎))) ∈ ℕ)
20	15, 18, 19	sylancr 406	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎))) ∈ ℕ)
21		nn0nndivcl 8833	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎))) ∈ ℕ) → (𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∈ ℝ)
22	14, 20, 21	syl2anc 404	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → (𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∈ ℝ)
23	22, 18	jca 301	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∈ ℝ ∧ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)) ∈ ℕ0))
24	23	adantl 272	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∈ ℝ ∧ (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)) ∈ ℕ0))
25	8	anbi1i 447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0))
26	25	anbi1i 447	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 = ((2↑𝑦) · 𝑥)) ↔ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 = ((2↑𝑦) · 𝑥)))
27		oddpwdclemdc 11593	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 = ((2↑𝑦) · 𝑥)) ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑥 = (𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∧ 𝑦 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))))
28	26, 27	bitri 183	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 = ((2↑𝑦) · 𝑥)) ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑥 = (𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∧ 𝑦 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))))
29	28	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 = ((2↑𝑦) · 𝑥)) ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑥 = (𝑎 / (2↑(℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎)))) ∧ 𝑦 = (℩𝑧 ∈ ℕ0 ((2↑𝑧) ∥ 𝑎 ∧ ¬ (2↑(𝑧 + 1)) ∥ 𝑎))))))
30	1, 13, 24, 29	f1od2 6038	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ)
31	30	mptru 1305	1 ⊢ 𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1296  ⊤wtru 1297   ∈ wcel 1445  ∃!wreu 2372  {crab 2374   class class class wbr 3867   × cxp 4465  –1-1-onto→wf1o 5048  ℩crio 5645  (class class class)co 5690   ↦ cmpt2 5692  ℂcc 7445  ℝcr 7446  1c1 7448   + caddc 7450   · cmul 7452   / cdiv 8236  ℕcn 8520  2c2 8571  ℕ₀cn0 8771  ↑cexp 10085   ∥ cdvds 11238

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-rp 9234  df-fz 9574  df-fl 9826  df-mod 9879  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-dvds 11239

This theorem is referenced by:  sqpweven  11595  2sqpwodd  11596  xpnnen  11649