ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddpwdc GIF version
Theorem oddpwdc 12176
Description: The function ๐น that decomposes a number into its "odd" and "even" parts, which is to say the largest power of two and largest odd divisor of a number, is a bijection from pairs of a nonnegative integer and an odd number to positive integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oddpwdc.j ๐ฝ = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
oddpwdc.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
Assertion
Ref Expression
oddpwdc ๐น:(๐ฝ ร— โ„•0)โ€“1-1-ontoโ†’โ„•
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ฝ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐ฝ(๐‘ง)
Proof of Theorem oddpwdc
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddpwdc.f . . 3 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
2 2cnd 8994 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
3 simpr 110 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
42, 3expcld 10656 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
5 breq2 4009 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ง โ†” 2 โˆฅ ๐‘ฅ))
65notbid 667 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง โ†” ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ฅ))
7 oddpwdc.j . . . . . . . . 9 ๐ฝ = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
86, 7elrab2 2898 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ฅ))
98simplbi 274 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
109adantr 276 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
1110nncnd 8935 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
124, 11mulcld 7980 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
1312adantl 277 . . 3 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
14 nnnn0 9185 . . . . . 6 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•0)
15 2nn 9082 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
16 pw2dvdseu 12170 . . . . . . . 8 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ โˆƒ!๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž))
17 riotacl 5847 . . . . . . . 8 (โˆƒ!๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž) โ†’ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž)) โˆˆ โ„•0)
1816, 17syl 14 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž)) โˆˆ โ„•0)
19 nnexpcl 10535 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž)) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž))) โˆˆ โ„•)
2015, 18, 19sylancr 414 . . . . . 6 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž))) โˆˆ โ„•)
21 nn0nndivcl 9240 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž))) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘Ž / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž)))) โˆˆ โ„)
2214, 20, 21syl2anc 411 . . . . 5 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Ž / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž)))) โˆˆ โ„)
2322, 18jca 306 . . . 4 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘Ž / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž)))) โˆˆ โ„ โˆง (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž)) โˆˆ โ„•0))
2423adantl 277 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘Ž / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž)))) โˆˆ โ„ โˆง (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž)) โˆˆ โ„•0))
258anbi1i 458 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0))
2625anbi1i 458 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘Ž = ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ†” (((๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘Ž = ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)))
27 oddpwdclemdc 12175 . . . . 5 ((((๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘Ž = ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฅ = (๐‘Ž / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž)))) โˆง ๐‘ฆ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž)))))
2826, 27bitri 184 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘Ž = ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฅ = (๐‘Ž / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž)))) โˆง ๐‘ฆ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž)))))
2928a1i 9 . . 3 (โŠค โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘Ž = ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ฅ = (๐‘Ž / (2โ†‘(โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž)))) โˆง ๐‘ฆ = (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„•0 ((2โ†‘๐‘ง) โˆฅ ๐‘Ž โˆง ยฌ (2โ†‘(๐‘ง + 1)) โˆฅ ๐‘Ž))))))
301, 13, 24, 29f1od2 6238 . 2 (โŠค โ†’ ๐น:(๐ฝ ร— โ„•0)โ€“1-1-ontoโ†’โ„•)
3130mptru 1362 1 ๐น:(๐ฝ ร— โ„•0)โ€“1-1-ontoโ†’โ„•
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353  โŠคwtru 1354   โˆˆ wcel 2148  โˆƒ!wreu 2457  {crab 2459   class class class wbr 4005   ร— cxp 4626  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 5217  โ„ฉcrio 5832  (class class class)co 5877   โˆˆ cmpo 5879  โ„‚cc 7811  โ„cr 7812  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818   / cdiv 8631  โ„•cn 8921  2c2 8972  โ„•0cn0 9178  โ†‘cexp 10521   โˆฅ cdvds 11796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-dvds 11797
This theorem is referenced by:  sqpweven  12177  2sqpwodd  12178  xpnnen  12397
  Copyright terms: Public domain W3C validator