Theorem rrgsupp 14547

Description: Left multiplication by a left regular element does not change the support set of a vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Revised by AV, 20-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgval.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrgval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rrgval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rrgsupp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rrgsupp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
rrgsupp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
rrgsupp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rrgsupp	⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))

Proof of Theorem rrgsupp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgsupp.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		rrgsupp.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
3	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐸)
4		rrgsupp.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
5	4	ffvelcdmda 5834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵)
6		fconstmpt 4817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋))
8	4	feqmptd 5750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑌‘𝑦)))
9	1, 3, 5, 7, 8	offval2 6308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))))
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))))
11	10	fveq1d 5692	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) = ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))‘𝑥))
12		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))
13		fveq2 5690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑌‘𝑦) = (𝑌‘𝑥))
14	13	oveq2d 6091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
15		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
16		rrgsupp.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
17	16	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
18		rrgval.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
19		rrgval.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
20		rrgval.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘𝑅)
21		rrgval.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22	18, 19, 20, 21	isrrg 14544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑢) = 0 → 𝑢 = 0 )))
23	2, 22	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑢) = 0 → 𝑢 = 0 )))
24	23	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	24	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	4	ffvelcdmda 5834	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑥) ∈ 𝐵)
27	19, 20	ringcl 14291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ∈ 𝐵)
28	17, 25, 26, 27	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ∈ 𝐵)
29	12, 14, 15, 28	fvmptd3 5793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
30	11, 29	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
31	30	neeq1d 2438	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 ))
32	31	rabbidva 2809	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 })
33	2	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐸)
34	18, 19, 20, 21	rrgeq0 14546	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ (𝑌‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) = 0 ↔ (𝑌‘𝑥) = 0 ))
35	17, 33, 26, 34	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) = 0 ↔ (𝑌‘𝑥) = 0 ))
36	35	necon3bid 2461	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 ))
37	36	rabbidva 2809	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
38	32, 37	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
39	16	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
40	24	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
41	19, 20	ringcl 14291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵)
42	39, 40, 5, 41	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵)
43	42	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵)
44	12	fnmpt 5505	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) Fn 𝐼)
45	43, 44	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) Fn 𝐼)
46	9	fneq1d 5466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) Fn 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) Fn 𝐼))
47	45, 46	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) Fn 𝐼)
48	19, 21	ring0cl 14299	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
49	16, 48	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
50		suppvalfn 6471	. . 3 ⊢ ((((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
51	47, 1, 49, 50	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
52	4	ffnd 5529	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝐼)
53		suppvalfn 6471	. . 3 ⊢ ((𝑌 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
54	52, 1, 49, 53	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
55	38, 51, 54	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  {crab 2532  {csn 3705   ↦ cmpt 4187   × cxp 4767   Fn wfn 5367  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075   ∘_𝑓 cof 6290   supp csupp 6465  Basecbs 13330  ._rcmulr 13409  0_gc0g 13587  Ringcrg 14274  RLRegcrlreg 14536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-supp 6466  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-mgp 14195  df-ring 14276  df-rlreg 14539

This theorem is referenced by: (None)