Theorem rrgsupp 14344

Description: Left multiplication by a left regular element does not change the support set of a vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Revised by AV, 20-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgval.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrgval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rrgval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rrgsupp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rrgsupp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
rrgsupp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
rrgsupp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rrgsupp	⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))

Proof of Theorem rrgsupp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgsupp.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		rrgsupp.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
3	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐸)
4		rrgsupp.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
5	4	ffvelcdmda 5790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵)
6		fconstmpt 4779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋))
8	4	feqmptd 5708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑌‘𝑦)))
9	1, 3, 5, 7, 8	offval2 6260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))))
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))))
11	10	fveq1d 5650	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) = ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))‘𝑥))
12		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))
13		fveq2 5648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑌‘𝑦) = (𝑌‘𝑥))
14	13	oveq2d 6044	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
15		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
16		rrgsupp.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
17	16	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
18		rrgval.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
19		rrgval.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
20		rrgval.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘𝑅)
21		rrgval.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22	18, 19, 20, 21	isrrg 14341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑢) = 0 → 𝑢 = 0 )))
23	2, 22	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑢) = 0 → 𝑢 = 0 )))
24	23	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	24	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	4	ffvelcdmda 5790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑥) ∈ 𝐵)
27	19, 20	ringcl 14090	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ∈ 𝐵)
28	17, 25, 26, 27	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ∈ 𝐵)
29	12, 14, 15, 28	fvmptd3 5749	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
30	11, 29	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
31	30	neeq1d 2421	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 ))
32	31	rabbidva 2791	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 })
33	2	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐸)
34	18, 19, 20, 21	rrgeq0 14343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ (𝑌‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) = 0 ↔ (𝑌‘𝑥) = 0 ))
35	17, 33, 26, 34	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) = 0 ↔ (𝑌‘𝑥) = 0 ))
36	35	necon3bid 2444	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 ))
37	36	rabbidva 2791	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
38	32, 37	eqtrd 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
39	16	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
40	24	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
41	19, 20	ringcl 14090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵)
42	39, 40, 5, 41	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵)
43	42	ralrimiva 2606	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵)
44	12	fnmpt 5466	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) Fn 𝐼)
45	43, 44	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) Fn 𝐼)
46	9	fneq1d 5427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) Fn 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) Fn 𝐼))
47	45, 46	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) Fn 𝐼)
48	19, 21	ring0cl 14098	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
49	16, 48	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
50		suppvalfn 6419	. . 3 ⊢ ((((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
51	47, 1, 49, 50	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
52	4	ffnd 5490	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝐼)
53		suppvalfn 6419	. . 3 ⊢ ((𝑌 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
54	52, 1, 49, 53	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
55	38, 51, 54	3eqtr4d 2274	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ∀wral 2511  {crab 2515  {csn 3673   ↦ cmpt 4155   × cxp 4729   Fn wfn 5328  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ∘_𝑓 cof 6242   supp csupp 6413  Basecbs 13145  ._rcmulr 13224  0_gc0g 13402  Ringcrg 14073  RLRegcrlreg 14333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-supp 6414  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-mgp 13998  df-ring 14075  df-rlreg 14336

This theorem is referenced by: (None)