Theorem rrgsupp 14518

Description: Left multiplication by a left regular element does not change the support set of a vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Revised by AV, 20-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgval.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrgval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rrgval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rrgsupp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rrgsupp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
rrgsupp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
rrgsupp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rrgsupp	⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))

Proof of Theorem rrgsupp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgsupp.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		rrgsupp.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
3	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐸)
4		rrgsupp.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
5	4	ffvelcdmda 5819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵)
6		fconstmpt 4804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋))
8	4	feqmptd 5737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑌‘𝑦)))
9	1, 3, 5, 7, 8	offval2 6293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))))
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))))
11	10	fveq1d 5679	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) = ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))‘𝑥))
12		eqid 2234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))
13		fveq2 5677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑌‘𝑦) = (𝑌‘𝑥))
14	13	oveq2d 6076	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
15		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
16		rrgsupp.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
17	16	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
18		rrgval.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
19		rrgval.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
20		rrgval.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘𝑅)
21		rrgval.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22	18, 19, 20, 21	isrrg 14515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑢) = 0 → 𝑢 = 0 )))
23	2, 22	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ((𝑋 · 𝑢) = 0 → 𝑢 = 0 )))
24	23	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	24	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	4	ffvelcdmda 5819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑥) ∈ 𝐵)
27	19, 20	ringcl 14262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ∈ 𝐵)
28	17, 25, 26, 27	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ∈ 𝐵)
29	12, 14, 15, 28	fvmptd3 5778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
30	11, 29	eqtrd 2267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
31	30	neeq1d 2432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 ))
32	31	rabbidva 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 })
33	2	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐸)
34	18, 19, 20, 21	rrgeq0 14517	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ (𝑌‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) = 0 ↔ (𝑌‘𝑥) = 0 ))
35	17, 33, 26, 34	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) = 0 ↔ (𝑌‘𝑥) = 0 ))
36	35	necon3bid 2455	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 ))
37	36	rabbidva 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
38	32, 37	eqtrd 2267	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
39	16	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
40	24	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
41	19, 20	ringcl 14262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌‘𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵)
42	39, 40, 5, 41	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵)
43	42	ralrimiva 2617	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵)
44	12	fnmpt 5492	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) Fn 𝐼)
45	43, 44	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) Fn 𝐼)
46	9	fneq1d 5453	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) Fn 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) Fn 𝐼))
47	45, 46	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) Fn 𝐼)
48	19, 21	ring0cl 14270	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
49	16, 48	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
50		suppvalfn 6456	. . 3 ⊢ ((((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
51	47, 1, 49, 50	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
52	4	ffnd 5516	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝐼)
53		suppvalfn 6456	. . 3 ⊢ ((𝑌 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
54	52, 1, 49, 53	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
55	38, 51, 54	3eqtr4d 2277	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∀wral 2522  {crab 2526  {csn 3695   ↦ cmpt 4177   × cxp 4754   Fn wfn 5354  ⟶wf 5355  ‘cfv 5359  (class class class)co 6060   ∘_𝑓 cof 6275   supp csupp 6450  Basecbs 13302  ._rcmulr 13381  0_gc0g 13559  Ringcrg 14245  RLRegcrlreg 14507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-of 6277  df-supp 6451  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-ltxr 8331  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-base 13308  df-sets 13309  df-plusg 13393  df-mulr 13394  df-0g 13561  df-mgm 13625  df-sgrp 13671  df-mnd 13684  df-grp 13764  df-mgp 14166  df-ring 14247  df-rlreg 14510

This theorem is referenced by: (None)