Theorem znrrg 14997

Description: The regular elements of ℤ/nℤ are exactly the units. (This theorem fails for 𝑁 = 0, where all nonzero integers are regular, but only ±1 are units.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
znrrg.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znrrg	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐸 = 𝑈)

Proof of Theorem znrrg

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9572	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		znchr.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
5	2, 3, 4	znzrhfo 14985	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
7		znrrg.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑌)
8	7, 3	rrgss 14577	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝑌)
9	8	sseli 3244	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑌))
10		foelrn 5958	. . . . . 6 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛))
11	6, 9, 10	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛))
12	11	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ 𝐸 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)))
13		nncn 9313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
14	13	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℂ)
15		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑛 ∈ ℤ)
16		nnz 9665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		nnne0 9333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
19	18	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ≠ 0)
20		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
21	20	necon3ai 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
23		gcdn0cl 12741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
24	15, 17, 22, 23	syl21anc 1277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
25	24	nncnd 9319	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
26	24	nnap0d 9351	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) # 0)
27	14, 25, 26	divcanap2d 9123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = 𝑁)
28		gcddvds 12742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
29	15, 17, 28	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
30	29	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛)
31	24	nnzd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
32	29	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
33		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℕ)
34		nndivdvds 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
35	33, 24, 34	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
36	32, 35	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
37	36	nnzd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
38		dvdsmulc 12588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
39	31, 15, 37, 38	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
40	30, 39	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
41	27, 40	eqbrtrrd 4154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
42		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸)
43	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℕ0)
44	43, 5	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
45		fof 5615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
47	46, 37	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ (Base‘𝑌))
48		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
49		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
50	7, 3, 48, 49	rrgeq0i 14574	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g‘𝑌)))
51	42, 47, 50	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g‘𝑌)))
52	2	zncrng 14982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
53	1, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ CRing)
54	53	crngringd 14315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Ring)
55	54	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑌 ∈ Ring)
56	4	zrhrhm 14960	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
58		zringbas 14933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
59		zringmulr 14936	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ · = (.r‘ℤring)
60	58, 59, 48	rhmmul 14473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
61	57, 15, 37, 60	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
62	61	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌)))
63	15, 37	zmulcld 9776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
64	2, 4, 49	zndvds0 14987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
65	43, 63, 64	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
66	62, 65	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
67	2, 4, 49	zndvds0 14987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
68	43, 37, 67	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
69	51, 66, 68	3imtr3d 202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
70	41, 69	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))
71	14, 25, 26	divcanap1d 9122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) = 𝑁)
72	36	nncnd 9319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℂ)
73	72	mulridd 8343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1) = (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))
74	70, 71, 73	3brtr4d 4162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) ∥ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1))
75		1zzd 9673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
76	36	nnne0d 9350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ≠ 0)
77		dvdscmulr 12589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ≠ 0)) → (((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) ∥ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1) ↔ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1))
78	31, 75, 37, 76, 77	syl112anc 1282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) ∥ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1) ↔ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1))
79	74, 78	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1)
80	15, 17	gcdcld 12747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
81		dvds1 12622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
82	80, 81	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
83	79, 82	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) = 1)
84		znunit.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
85	2, 84, 4	znunit 14996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
86	43, 15, 85	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
87	83, 86	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈)
88	87	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈))
89		eleq1 2301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥 ∈ 𝐸 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸))
90		eleq1 2301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈))
91	89, 90	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → ((𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈)))
92	88, 91	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
93	92	rexlimdva 2668	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
94	93	com23 78	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ 𝐸 → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → 𝑥 ∈ 𝑈)))
95	12, 94	mpdd 41	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ 𝑈))
96	95	ssrdv 3254	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐸 ⊆ 𝑈)
97	7, 84	unitrrg 14578	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ 𝐸)
98	54, 97	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑈 ⊆ 𝐸)
99	96, 98	eqssd 3265	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐸 = 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  ⟶wf 5373  –onto→wfo 5375  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   · cmul 8184   / cdiv 9003  ℕcn 9305  ℕ₀cn0 9565  ℤcz 9646   ∥ cdvds 12556   gcd cgcd 12732  Basecbs 13354  ._rcmulr 13434  0_gc0g 13612  Ringcrg 14302  CRingccrg 14303  Unitcui 14395   RingHom crh 14459  RLRegcrlreg 14565  ℤ_ringczring 14927  ℤRHomczrh 14948  ℤ/nℤczn 14950

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516  df-recs 6576  df-frec 6662  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-map 6924  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-fl 10707  df-mod 10762  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-dvds 12557  df-gcd 12733  df-struct 13356  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-starv 13448  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-ip 13451  df-tset 13452  df-ple 13453  df-ds 13455  df-unif 13456  df-0g 13614  df-topgen 13616  df-iimas 13626  df-qus 13627  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-mhm 13768  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-sbg 13812  df-mulg 13925  df-subg 13975  df-nsg 13976  df-eqg 13977  df-ghm 14046  df-cmn 14091  df-abl 14092  df-mgp 14220  df-rng 14234  df-ur 14265  df-srg 14270  df-ring 14304  df-cring 14305  df-oppr 14375  df-dvdsr 14397  df-unit 14398  df-invr 14430  df-rhm 14461  df-subrg 14529  df-rlreg 14568  df-lmod 14627  df-lssm 14692  df-lsp 14726  df-sra 14774  df-rgmod 14775  df-lidl 14808  df-rsp 14809  df-2idl 14839  df-bl 14885  df-mopn 14886  df-fg 14888  df-metu 14889  df-cnfld 14896  df-zring 14928  df-zrh 14951  df-zn 14953

This theorem is used by: (None)