Theorem unitrrg 14518

Description: Units are regular elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitrrg.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
unitrrg.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitrrg	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ 𝐸)

Proof of Theorem unitrrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
3		unitrrg.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
5		ringsrg 14294	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ SRing)
7		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
8	2, 4, 6, 7	unitcld 14357	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
9		oveq2 6066	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
10		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
11		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	3, 10, 11, 12	unitlinv 14375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
14	13	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
15	14	oveq1d 6073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦))
16		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
17	3, 10, 1	ringinvcl 14374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
18	17	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
19	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
20		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21	1, 11	ringass 14263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
22	16, 18, 19, 20, 21	syl13anc 1276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
23	1, 11, 12	ringlidm 14270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
24	23	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
25	15, 22, 24	3eqtr3d 2275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = 𝑦)
26		eqid 2234	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
27	1, 11, 26	ringrz 14291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
28	16, 18, 27	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	25, 28	eqeq12d 2249	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) ↔ 𝑦 = (0g‘𝑅)))
30	9, 29	imbitrid 154	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅)))
31	30	ralrimiva 2617	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅)))
32		unitrrg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
33	32, 1, 11, 26	isrrg 14513	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅))))
34	8, 31, 33	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐸)
35	34	ex 115	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐸))
36	35	ssrdv 3248	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   ⊆ wss 3214  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13300  ._rcmulr 13379  0_gc0g 13557  1_rcur 14206  SRingcsrg 14210  Ringcrg 14243  Unitcui 14335  inv_rcinvr 14369  RLRegcrlreg 14505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-tpos 6489  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-ndx 13303  df-slot 13304  df-base 13306  df-sets 13307  df-iress 13308  df-plusg 13391  df-mulr 13392  df-0g 13559  df-mgm 13623  df-sgrp 13669  df-mnd 13682  df-grp 13762  df-minusg 13763  df-cmn 14043  df-abl 14044  df-mgp 14164  df-ur 14207  df-srg 14211  df-ring 14245  df-oppr 14315  df-dvdsr 14337  df-unit 14338  df-invr 14370  df-rlreg 14508

This theorem is referenced by:  znrrg  14938