ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumclim3 GIF version

Theorem isumclim3 11185
Description: The sequence of partial finite sums of a converging infinite series converges to the infinite sum of the series. Note that 𝑗 must not occur in 𝐴. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumclim3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumclim3.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumclim3.3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
isumclim3.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumclim3.5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
Assertion
Ref Expression
isumclim3 (𝜑𝐹 ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝑘,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem isumclim3
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumclim3.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 climdm 11057 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
31, 2sylib 121 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
4 isumclim3.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 isumclim3.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 eqidd 2138 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
7 isumclim3.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
87fmpttd 5568 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴):𝑍⟶ℂ)
98ffvelrnda 5548 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
104, 5, 6, 9isum 11147 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))))
117ralrimiva 2503 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 𝐴 ∈ ℂ)
12 sumfct 11136 . . . 4 (∀𝑘𝑍 𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘𝑍 𝐴)
1311, 12syl 14 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘𝑍 𝐴)
14 seqex 10213 . . . . . . 7 seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ∈ V
1514a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ∈ V)
16 isumclim3.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
17 simpl 108 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝜑)
18 fzssuz 9838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑗) ⊆ (ℤ𝑀)
1918, 4sseqtrri 3127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
20 resmpt 4862 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍 → ((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)
2221fveq1i 5415 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
23 fvres 5438 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → (((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
2422, 23syl5reqr 2185 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚))
2524sumeq2i 11126 . . . . . . . . 9 Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
26 ssralv 3156 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍 → (∀𝑘𝑍 𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 ∈ ℂ))
2719, 11, 26mpsyl 65 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 ∈ ℂ)
28 sumfct 11136 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
2927, 28syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
3025, 29syl5eq 2182 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
3117, 30syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
32 eqidd 2138 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
33 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
3433, 4eleqtrdi 2230 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
354eleq2i 2204 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
3635biimpri 132 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑚𝑍)
3717, 36, 9syl2an 287 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
3832, 34, 37fsum3ser 11159 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗))
3916, 31, 383eqtr2rd 2177 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗) = (𝐹𝑗))
404, 15, 1, 5, 39climeq 11061 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥𝐹𝑥))
4140iotabidv 5104 . . . 4 (𝜑 → (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥𝐹𝑥))
42 df-fv 5126 . . . 4 ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥)
43 df-fv 5126 . . . 4 ( ⇝ ‘𝐹) = (℩𝑥𝐹𝑥)
4441, 42, 433eqtr4g 2195 . . 3 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))) = ( ⇝ ‘𝐹))
4510, 13, 443eqtr3d 2178 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘𝐹))
463, 45breqtrrd 3951 1 (𝜑𝐹 ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2414  Vcvv 2681  wss 3066   class class class wbr 3924  cmpt 3984  dom cdm 4534  cres 4536  cio 5081  cfv 5118  (class class class)co 5767  cc 7611   + caddc 7616  cz 9047  cuz 9319  ...cfz 9783  seqcseq 10211  cli 11040  Σcsu 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator