Theorem isumclim3 11431

Description: The sequence of partial finite sums of a converging infinite series converges to the infinite sum of the series. Note that 𝑗 must not occur in 𝐴. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumclim3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumclim3.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumclim3.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
isumclim3.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumclim3.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)

Assertion

Ref	Expression
isumclim3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝑘,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem isumclim3

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumclim3.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2		climdm 11303	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
3	1, 2	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
4		isumclim3.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		isumclim3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		eqidd 2178	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚))
7		isumclim3.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	fmpttd 5672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴):𝑍⟶ℂ)
9	8	ffvelcdmda 5652	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
10	4, 5, 6, 9	isum 11393	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))))
11	7	ralrimiva 2550	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ∈ ℂ)
12		sumfct 11382	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑚 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝑍 ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
14		seqex 10447	. . . . . . 7 ⊢ seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ∈ V
15	14	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ∈ V)
16		isumclim3.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
17		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝜑)
18		fvres 5540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚))
19		fzssuz 10065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀...𝑗) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
20	19, 4	sseqtrri 3191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
21		resmpt 4956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)
23	22	fveq1i 5517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
24	18, 23	eqtr3di 2225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚))
25	24	sumeq2i 11372	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
26		ssralv 3220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 ∈ ℂ))
27	20, 11, 26	mpsyl 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 ∈ ℂ)
28		sumfct 11382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
30	25, 29	eqtrid 2222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
31	17, 30	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
32		eqidd 2178	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚))
33		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
34	33, 4	eleqtrdi 2270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35	4	eleq2i 2244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36	35	biimpri 133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑚 ∈ 𝑍)
37	17, 36, 9	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
38	32, 34, 37	fsum3ser 11405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑚) = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))‘𝑗))
39	16, 31, 38	3eqtr2rd 2217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
40	4, 15, 1, 5, 39	climeq 11307	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑥))
41	40	iotabidv 5200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥𝐹 ⇝ 𝑥))
42		df-fv 5225	. . . 4 ⊢ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝑥)
43		df-fv 5225	. . . 4 ⊢ ( ⇝ ‘𝐹) = (℩𝑥𝐹 ⇝ 𝑥)
44	41, 42, 43	3eqtr4g 2235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))) = ( ⇝ ‘𝐹))
45	10, 13, 44	3eqtr3d 2218	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘𝐹))
46	3, 45	breqtrrd 4032	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  Vcvv 2738   ⊆ wss 3130   class class class wbr 4004   ↦ cmpt 4065  dom cdm 4627   ↾ cres 4629  ℩cio 5177  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809   + caddc 7814  ℤcz 9253  ℤ_≥cuz 9528  ...cfz 10008  seqcseq 10445   ⇝ cli 11286  Σcsu 11361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362

This theorem is referenced by: (None)