ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iooval2 GIF version

Theorem iooval2 9653
Description: Value of the open interval function. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iooval2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem iooval2
StepHypRef Expression
1 iooval 9646 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
2 inrab2 3319 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}
3 ressxr 7777 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
4 sseqin2 3265 . . . . . 6 (ℝ ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ)
53, 4mpbi 144 . . . . 5 (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ
6 rabeq 2652 . . . . 5 ((ℝ* ∩ ℝ) = ℝ → {𝑥 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
75, 6ax-mp 5 . . . 4 {𝑥 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}
82, 7eqtri 2138 . . 3 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}
9 elioore 9650 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
109ssriv 3071 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
111, 10eqsstrrdi 3120 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ⊆ ℝ)
12 df-ss 3054 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ⊆ ℝ ↔ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
1311, 12sylib 121 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
148, 13syl5reqr 2165 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
151, 14eqtrd 2150 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  {crab 2397  cin 3040  wss 3041   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  cr 7587  *cxr 7767   < clt 7768  (,)cioo 9626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-ioo 9630
This theorem is referenced by:  elioo2  9659  ioomax  9686  ioopos  9688  dfioo2  9712
  Copyright terms: Public domain W3C validator