ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iooval2 GIF version

Theorem iooval2 9884
Description: Value of the open interval function. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iooval2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem iooval2
StepHypRef Expression
1 iooval 9877 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
2 elioore 9881 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
32ssriv 3157 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
41, 3eqsstrrdi 3206 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ⊆ ℝ)
5 df-ss 3140 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ⊆ ℝ ↔ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
64, 5sylib 122 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
7 inrab2 3406 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}
8 ressxr 7975 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
9 sseqin2 3352 . . . . . 6 (ℝ ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ)
108, 9mpbi 146 . . . . 5 (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ
11 rabeq 2727 . . . . 5 ((ℝ* ∩ ℝ) = ℝ → {𝑥 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
1210, 11ax-mp 5 . . . 4 {𝑥 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}
137, 12eqtri 2196 . . 3 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}
146, 13eqtr3di 2223 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
151, 14eqtrd 2208 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2146  {crab 2457  cin 3126  wss 3127   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  cr 7785  *cxr 7965   < clt 7966  (,)cioo 9857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-ioo 9861
This theorem is referenced by:  elioo2  9890  ioomax  9917  ioopos  9919  dfioo2  9943
  Copyright terms: Public domain W3C validator