Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iooval2 GIF version

Theorem iooval2 9710
 Description: Value of the open interval function. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iooval2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem iooval2
StepHypRef Expression
1 iooval 9703 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
2 inrab2 3349 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}
3 ressxr 7821 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
4 sseqin2 3295 . . . . . 6 (ℝ ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ)
53, 4mpbi 144 . . . . 5 (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ
6 rabeq 2678 . . . . 5 ((ℝ* ∩ ℝ) = ℝ → {𝑥 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
75, 6ax-mp 5 . . . 4 {𝑥 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}
82, 7eqtri 2160 . . 3 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)}
9 elioore 9707 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
109ssriv 3101 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
111, 10eqsstrrdi 3150 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ⊆ ℝ)
12 df-ss 3084 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ⊆ ℝ ↔ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
1311, 12sylib 121 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ∩ ℝ) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
148, 13syl5reqr 2187 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
151, 14eqtrd 2172 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {crab 2420   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7631  ℝ*cxr 7811   < clt 7812  (,)cioo 9683 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-ioo 9687 This theorem is referenced by:  elioo2  9716  ioomax  9743  ioopos  9745  dfioo2  9769
 Copyright terms: Public domain W3C validator