ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrltletrd GIF version

Theorem xrltletrd 9171
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
xrltletrd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
xrltletrd.5 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
xrltletrd (𝜑𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrltletrd
StepHypRef Expression
1 xrltletrd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 xrltletrd.5 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
3 xrlttrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrlttrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 xrlttrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6 xrltletr 9167 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1170 . 2 (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
81, 2, 7mp2and 424 1 (𝜑𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1434   class class class wbr 3811  *cxr 7424   < clt 7425  cle 7426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-po 4087  df-iso 4088  df-xp 4407  df-cnv 4409  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431
This theorem is referenced by:  elico2  9250  elicc2  9251
  Copyright terms: Public domain W3C validator