ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elicc2 GIF version

Theorem elicc2 9970
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicc2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))

Proof of Theorem elicc2
StepHypRef Expression
1 rexr 8034 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 8034 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 elicc1 9956 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
41, 2, 3syl2an 289 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
5 mnfxr 8045 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 9 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
71ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 simpr1 1005 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9 mnflt 9815 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
109ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → -∞ < 𝐴)
11 simpr2 1006 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴𝐶)
126, 7, 8, 10, 11xrltletrd 9843 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → -∞ < 𝐶)
132ad2antlr 489 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 pnfxr 8041 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1514a1i 9 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
16 simpr3 1007 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
17 ltpnf 9812 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
1817ad2antlr 489 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 < +∞)
198, 13, 15, 16, 18xrlelttrd 9842 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 < +∞)
20 xrrebnd 9851 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
218, 20syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
2212, 19, 21mpbir2and 946 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2322, 11, 163jca 1179 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵))
2423ex 115 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
25 rexr 8034 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
26253anim1i 1187 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵))
2724, 26impbid1 142 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
284, 27bitrd 188 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980  wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  cr 7841  +∞cpnf 8020  -∞cmnf 8021  *cxr 8022   < clt 8023  cle 8024  [,]cicc 9923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-icc 9927
This theorem is referenced by:  elicc2i  9971  iccssre  9987  iccsupr  9998  iccneg  10021  iccshftr  10026  iccshftl  10028  iccdil  10030  icccntr  10032  iccf1o  10036  suplociccreex  14579  suplociccex  14580  ivthinclemlopn  14591  ivthinclemuopn  14593
  Copyright terms: Public domain W3C validator