Theorem elicore 10650

Description: A member of a left-closed right-open interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elicore	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elicore

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 10246	. . . . . . 7 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2	1	elixx3g 10253	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
3	2	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
4	3	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
5	4	simp3d 1038	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6	5	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	3	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	8	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐶)
10	9	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
11	4	simp2d 1037	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	11	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		pnfxr 8342	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
15	8	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
16	15	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
17		pnfge 10141	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ +∞)
18	11, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
19	18	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ≤ +∞)
20	6, 12, 14, 16, 19	xrltletrd 10163	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < +∞)
21		xrre3 10174	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < +∞)) → 𝐶 ∈ ℝ)
22	6, 7, 10, 20, 21	syl22anc 1275	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℝcr 8142  +∞cpnf 8321  ℝ^*cxr 8323   < clt 8324   ≤ cle 8325  [,)cico 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-ico 10246

This theorem is referenced by: (None)