Theorem elicore 10166

Description: A member of a left-closed right-open interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elicore	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elicore

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 9798	. . . . . . 7 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2	1	elixx3g 9805	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
3	2	biimpi 119	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
4	3	simpld 111	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
5	4	simp3d 996	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6	5	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		simpl 108	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	3	simprd 113	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	8	simpld 111	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐶)
10	9	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
11	4	simp2d 995	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	11	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		pnfxr 7930	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
15	8	simprd 113	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
16	15	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
17		pnfge 9696	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ +∞)
18	11, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
19	18	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ≤ +∞)
20	6, 12, 14, 16, 19	xrltletrd 9715	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < +∞)
21		xrre3 9726	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < +∞)) → 𝐶 ∈ ℝ)
22	6, 7, 10, 20, 21	syl22anc 1221	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824  ℝcr 7731  +∞cpnf 7909  ℝ^*cxr 7911   < clt 7912   ≤ cle 7913  [,)cico 9794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-ico 9798

This theorem is referenced by: (None)