Theorem elicore 10426

Description: A member of a left-closed right-open interval of reals is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elicore	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elicore

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 10031	. . . . . . 7 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2	1	elixx3g 10038	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
3	2	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
4	3	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
5	4	simp3d 1014	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6	5	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	3	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	8	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐶)
10	9	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
11	4	simp2d 1013	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	11	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		pnfxr 8140	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
15	8	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
16	15	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
17		pnfge 9926	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ +∞)
18	11, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
19	18	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ≤ +∞)
20	6, 12, 14, 16, 19	xrltletrd 9948	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < +∞)
21		xrre3 9959	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < +∞)) → 𝐶 ∈ ℝ)
22	6, 7, 10, 20, 21	syl22anc 1251	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4050  (class class class)co 5956  ℝcr 7939  +∞cpnf 8119  ℝ^*cxr 8121   < clt 8122   ≤ cle 8123  [,)cico 10027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-ico 10031

This theorem is referenced by: (None)