ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elico2 GIF version

Theorem elico2 9606
Description: Membership in a closed-below, open-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elico2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elico2
StepHypRef Expression
1 rexr 7728 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 elico1 9592 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
31, 2sylan 279 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
4 mnfxr 7739 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
54a1i 9 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
61ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7 simpr1 968 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
8 mnflt 9455 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
98ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → -∞ < 𝐴)
10 simpr2 969 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐴𝐶)
115, 6, 7, 9, 10xrltletrd 9480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → -∞ < 𝐶)
12 simplr 502 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 pnfxr 7735 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1413a1i 9 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
15 simpr3 970 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
16 pnfge 9461 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
1716ad2antlr 478 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐵 ≤ +∞)
187, 12, 14, 15, 17xrltletrd 9480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 < +∞)
19 xrrebnd 9488 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
207, 19syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
2111, 18, 20mpbir2and 909 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2221, 10, 153jca 1142 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
2322ex 114 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
24 rexr 7728 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
25243anim1i 1148 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
2623, 25impbid1 141 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
273, 26bitrd 187 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 943  wcel 1461   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726  cr 7539  +∞cpnf 7714  -∞cmnf 7715  *cxr 7716   < clt 7717  cle 7718  [,)cico 9559
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-ico 9563
This theorem is referenced by:  icossre  9623  elicopnf  9638  icoshft  9659  modqelico  9993  mulqaddmodid  10023  modqmuladdim  10026  addmodid  10031  icodiamlt  10837  cnbl0  12516
  Copyright terms: Public domain W3C validator