ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elico2 GIF version

Theorem elico2 9847
Description: Membership in a closed-below, open-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elico2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elico2
StepHypRef Expression
1 rexr 7925 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 elico1 9833 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
31, 2sylan 281 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
4 mnfxr 7936 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
54a1i 9 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
61ad2antrr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7 simpr1 988 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
8 mnflt 9696 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
98ad2antrr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → -∞ < 𝐴)
10 simpr2 989 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐴𝐶)
115, 6, 7, 9, 10xrltletrd 9721 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → -∞ < 𝐶)
12 simplr 520 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 pnfxr 7932 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1413a1i 9 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
15 simpr3 990 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
16 pnfge 9702 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
1716ad2antlr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐵 ≤ +∞)
187, 12, 14, 15, 17xrltletrd 9721 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 < +∞)
19 xrrebnd 9729 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
207, 19syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
2111, 18, 20mpbir2and 929 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2221, 10, 153jca 1162 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
2322ex 114 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
24 rexr 7925 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
25243anim1i 1168 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
2623, 25impbid1 141 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
273, 26bitrd 187 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963  wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826  cr 7733  +∞cpnf 7911  -∞cmnf 7912  *cxr 7913   < clt 7914  cle 7915  [,)cico 9800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fv 5180  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-ico 9804
This theorem is referenced by:  icossre  9864  elicopnf  9879  icoshft  9900  modqelico  10242  mulqaddmodid  10272  modqmuladdim  10275  addmodid  10280  icodiamlt  11091  fprodge0  11545  fprodge1  11547  cnbl0  13004  cosq34lt1  13241  cos02pilt1  13242
  Copyright terms: Public domain W3C validator