ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrltletr GIF version

Theorem xrltletr 9717
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltletr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem xrltletr
StepHypRef Expression
1 simprr 522 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → 𝐵𝐶)
2 simpl2 986 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 simpl3 987 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4 xrlenlt 7944 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
52, 3, 4syl2anc 409 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
61, 5mpbid 146 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → ¬ 𝐶 < 𝐵)
7 simprl 521 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → 𝐴 < 𝐵)
8 xrltso 9709 . . . . . 6 < Or ℝ*
9 sowlin 4282 . . . . . 6 (( < Or ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
108, 9mpan 421 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
1110adantr 274 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
127, 11mpd 13 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
136, 12ecased 1331 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
1413ex 114 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698  w3a 963  wcel 2128   class class class wbr 3967   Or wor 4257  *cxr 7913   < clt 7914  cle 7915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-po 4258  df-iso 4259  df-xp 4594  df-cnv 4596  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920
This theorem is referenced by:  xrltletrd  9721  xrre2  9731  xrre3  9732  ge0gtmnf  9733  iooss2  9827  iccssioo  9852  icossico  9853  icossioo  9874  ioossioo  9875  ioc0  10171
  Copyright terms: Public domain W3C validator