Theorem xlesubadd 10025

Description: Under certain conditions, the conclusion of lesubadd 8527 is true even in the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xlesubadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))

Proof of Theorem xlesubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1003	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simpl2 1004	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3	2	xnegcld 9997	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
4		xaddcl 10002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
7		simpll3 1041	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
8		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		xleadd1 10017	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
11		xnpcan 10014	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
12	1, 11	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
13	12	breq1d 4061	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
14	10, 13	bitrd 188	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
15		simpr3 1008	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 0 ≤ 𝐶)
16		oveq1 5964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = (+∞ +𝑒 -∞))
17		pnfaddmnf 9992	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ +𝑒 -∞) = 0
18	16, 17	eqtrdi 2255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = 0)
19	18	breq1d 4061	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶 ↔ 0 ≤ 𝐶))
20	15, 19	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶))
21		xaddmnf1 9990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
22	21	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≠ +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞))
23	1, 22	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≠ +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞))
24		simpl3 1005	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
25		mnfle 9934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐶)
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → -∞ ≤ 𝐶)
27		breq1 4054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +𝑒 -∞) = -∞ → ((𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶 ↔ -∞ ≤ 𝐶))
28	26, 27	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒 -∞) = -∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶))
29	23, 28	syld 45	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≠ +∞ → (𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶))
30		xrpnfdc 9984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → DECID 𝐴 = +∞)
31		dcne 2388	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝐴 = +∞ ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 ≠ +∞))
32	30, 31	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 ≠ +∞))
33	1, 32	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 ≠ +∞))
34	20, 29, 33	mpjaod 720	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶)
35		pnfge 9931	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
36	1, 35	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ +∞)
37		ge0nemnf 9966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶) → 𝐶 ≠ -∞)
38	24, 15, 37	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ≠ -∞)
39		xaddpnf1 9988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (𝐶 +𝑒 +∞) = +∞)
40	24, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐶 +𝑒 +∞) = +∞)
41	36, 40	breqtrrd 4079	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 +∞))
42	34, 41	2thd 175	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 +∞)))
43		xnegeq 9969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
44		xnegpnf 9970	. . . . . . . 8 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
45	43, 44	eqtrdi 2255	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
46	45	oveq2d 5973	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
47	46	breq1d 4061	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶))
48		oveq2 5965	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐶 +𝑒 +∞))
49	48	breq2d 4063	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 +∞)))
50	47, 49	bibi12d 235	. . . 4 ⊢ (𝐵 = +∞ → (((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)) ↔ ((𝐴 +𝑒 -∞) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 +∞))))
51	42, 50	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵))))
52	51	imp 124	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
53		simpr2 1007	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ≠ -∞)
54	2, 53	jca 306	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
55		xrnemnf 9919	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
56	54, 55	sylib 122	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
57	14, 52, 56	mpjaodan 800	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ -∞ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710  DECID wdc 836   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957  ℝcr 7944  0cc0 7945  +∞cpnf 8124  -∞cmnf 8125  ℝ^*cxr 8126   ≤ cle 8128  -_𝑒cxne 9911   +_𝑒 cxad 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-xneg 9914  df-xadd 9915

This theorem is referenced by:  xmetrtri  14923