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Theorem xaddass 9856
Description: Associativity of extended real addition. The correct condition here is "it is not the case that both +∞ and -∞ appear as one of 𝐴, 𝐵, 𝐶, i.e. ¬ {+∞, -∞} ⊆ {𝐴, 𝐵, 𝐶}", but this condition is difficult to work with, so we break the theorem into two parts: this one, where -∞ is not present in 𝐴, 𝐵, 𝐶, and xaddass2 9857, where +∞ is not present. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddass (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Proof of Theorem xaddass
StepHypRef Expression
1 recn 7935 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 recn 7935 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3 recn 7935 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
4 addass 7932 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3an 1280 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
653expa 1203 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
7 readdcl 7928 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
8 rexadd 9839 . . . . . . . . 9 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
97, 8sylan 283 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
10 readdcl 7928 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
11 rexadd 9839 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
1210, 11sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
1312anassrs 400 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
146, 9, 133eqtr4d 2220 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)))
15 rexadd 9839 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
1615adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
1716oveq1d 5884 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶))
18 rexadd 9839 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
1918adantll 476 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
2019oveq2d 5885 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)))
2114, 17, 203eqtr4d 2220 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
2221adantll 476 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
23 oveq2 5877 . . . . . . . . 9 (𝐶 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 +∞))
24 simp1l 1021 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
25 simp2l 1023 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
26 xaddcl 9847 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
2724, 25, 26syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
28 xaddnemnf 9844 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
29283adant3 1017 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
30 xaddpnf1 9833 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
3127, 29, 30syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
3223, 31sylan9eqr 2232 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = +∞)
33 xaddpnf1 9833 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
34333ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
3534adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
3632, 35eqtr4d 2213 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 +∞))
37 oveq2 5877 . . . . . . . . 9 (𝐶 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 +∞))
38 xaddpnf1 9833 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
39383ad2ant2 1019 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
4037, 39sylan9eqr 2232 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
4140oveq2d 5885 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 +𝑒 +∞))
4236, 41eqtr4d 2213 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
4342adantlr 477 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
44 simp3 999 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
45 xrnemnf 9764 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
4644, 45sylib 122 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
4746adantr 276 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
4822, 43, 47mpjaodan 798 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
4948anassrs 400 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
50 xaddpnf2 9834 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
51503ad2ant3 1020 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
5251, 34eqtr4d 2213 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (+∞ +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 +∞))
5352adantr 276 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 +∞))
54 oveq2 5877 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
5554, 34sylan9eqr 2232 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
5655oveq1d 5884 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
57 oveq1 5876 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
5857, 51sylan9eqr 2232 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
5958oveq2d 5885 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 +𝑒 +∞))
6053, 56, 593eqtr4d 2220 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
6160adantlr 477 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
62 simpl2 1001 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
63 xrnemnf 9764 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
6462, 63sylib 122 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
6549, 61, 64mpjaodan 798 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
66 simpl3 1002 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
6766, 50syl 14 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
68 simpl2l 1050 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
69 simpl3l 1052 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
70 xaddcl 9847 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
7168, 69, 70syl2anc 411 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
72 simpl2 1001 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
73 xaddnemnf 9844 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ≠ -∞)
7472, 66, 73syl2anc 411 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ≠ -∞)
75 xaddpnf2 9834 . . . . 5 (((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
7671, 74, 75syl2anc 411 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
7767, 76eqtr4d 2213 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
78 simpr 110 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
7978oveq1d 5884 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
80 xaddpnf2 9834 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
8172, 80syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
8279, 81eqtrd 2210 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
8382oveq1d 5884 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
8478oveq1d 5884 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
8577, 83, 843eqtr4d 2220 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
86 simp1 997 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
87 xrnemnf 9764 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
8886, 87sylib 122 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
8965, 85, 88mpjaodan 798 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801   + caddc 7805  +∞cpnf 7979  -∞cmnf 7980  *cxr 7981   +𝑒 cxad 9757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1re 7896  ax-addrcl 7899  ax-addass 7904  ax-rnegex 7911
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-xadd 9760
This theorem is referenced by:  xaddass2  9857  xpncan  9858  xadd4d  9872
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