Theorem 0nelfil 24061

Description: The empty set doesn't belong to a filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelfil	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)

Proof of Theorem 0nelfil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 24060	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		0nelfb 24043	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2146  ∅c0 4286  ‘cfv 6540  fBascfbas 21564  Filcfil 24057

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-fbas 21573  df-fil 24058

This theorem is used by:  fileln0  24062  isfil2  24068  infil  24075  filuni  24097  filufint  24132  rnelfmlem  24164  fmfnfm  24170  fclscmpi  24241