Theorem 0nelfil 23858

Description: The empty set doesn't belong to a filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelfil	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)

Proof of Theorem 0nelfil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 23857	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		0nelfb 23840	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2107  ∅c0 4332  ‘cfv 6560  fBascfbas 21353  Filcfil 23854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-fbas 21362  df-fil 23855

This theorem is referenced by:  fileln0  23859  isfil2  23865  infil  23872  filuni  23894  filufint  23929  rnelfmlem  23961  fmfnfm  23967  fclscmpi  24038