Theorem 0nelfil 23703

Description: The empty set doesn't belong to a filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelfil	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)

Proof of Theorem 0nelfil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 23702	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2		0nelfb 23685	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2098  ∅c0 4317  ‘cfv 6536  fBascfbas 21223  Filcfil 23699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-fbas 21232  df-fil 23700

This theorem is referenced by:  fileln0  23704  isfil2  23710  infil  23717  filuni  23739  filufint  23774  rnelfmlem  23806  fmfnfm  23812  fclscmpi  23883