Theorem filufint 24294

Description: A filter is equal to the intersection of the ultrafilters containing it. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Jan-2010.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filufint	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} = 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋

Proof of Theorem filufint

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elintrab 4925	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} ↔ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝑓))
3		filsspw 24225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
4	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
5		difss 4075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋
6		filtop 24229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
7	6	difexd 5300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ V)
8	7	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ V)
9		elpwg 4563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ V → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋))
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋))
11	5, 10	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
12	11	snssd 4749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ 𝒫 𝑋)
13	4, 12	unssd 4193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋)
14		ssun1 4179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 ⊆ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
15		filn0 24236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
16		ssn0 4358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ⊆ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅)
17	14, 15, 16	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅)
18	17	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅)
19		elsni 4601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)} → 𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥))
20		filelss 24226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
21	20	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
22		reldisj 4409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑋 → ((𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥))))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥))))
24		dfss4 4217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
25	24	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
26	25	sseq2d 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
27	26	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
28	23, 27	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
29		filss 24227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐹)
30	29	3exp2 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐹))))
31	30	3imp 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐹))
32	28, 31	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
33	32	necon3bd 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
34	33	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))))
35	34	com24 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑦 ∈ 𝐹 → (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))))
36	35	3imp1 1366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅)
37		ineq2 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑦 ∩ 𝑧) = (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)))
38	37	neeq1d 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥) → ((𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅ ↔ (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
39	36, 38	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
40	39	expimpd 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥)) → (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
41	19, 40	sylan2i 618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) → (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
42	41	ralrimivv 3207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)} (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅)
43		filfbas 24222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
44	43	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
45	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋)
46	25	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
47		difeq2 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) = ∅ → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = (𝑋 ∖ ∅))
48		dif0 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑋 ∖ ∅) = 𝑋
49	47, 48	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) = ∅ → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑋)
50	49	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑋)
51	46, 50	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → 𝑥 = 𝑋)
52	6	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → 𝑋 ∈ 𝐹)
53	51, 52	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → 𝑥 ∈ 𝐹)
54	53	3expia 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑥) = ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
55	54	necon3bd 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅))
56	55	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅)))
57	56	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅)))
58	57	3imp 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅)
59	6	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
60		snfbas 24240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋))
61	45, 58, 59, 60	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋))
62		fbunfip 24243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)} (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
63	44, 61, 62	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)} (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
64	42, 63	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
65		fsubbas 24241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐹 → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))))
66	6, 65	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))))
67	66	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))))
68	13, 18, 64, 67	mpbir3and 1361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋))
69		fgcl 24252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋))
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋))
71		filssufil 24286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
72		snex 5404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ V
73		unexg 7792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ V) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ∈ V)
74	72, 73	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ∈ V)
75		ssfii 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ∈ V → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
76	74, 75	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
77	76	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
78	77	unssad 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
79		ssfg 24246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
80	68, 79	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
81	78, 80	sstrd 3923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
82	81	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
83		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
84	82, 83	sstrd 3923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → 𝐹 ⊆ 𝑓)
85		ufilfil 24278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
86		0nelfil 24223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝑓)
87	85, 86	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝑓)
88	87	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → ¬ ∅ ∈ 𝑓)
89		disjdif 4429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅
90	85	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
91		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → 𝑥 ∈ 𝑓)
92	76	unssbd 4195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
93	92	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
94	93	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
95	68	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋))
96	95, 79	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
97	94, 96	sstrd 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
98	97	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
99		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
100	98, 99	sstrd 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ 𝑓)
101		snidg 4622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ V → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
102	7, 101	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
103	102	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
104	103	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
105	100, 104	sseldd 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓)
106		filin 24228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓) → (𝑥 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑓)
107	90, 91, 105, 106	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → (𝑥 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑓)
108	89, 107	eqeltrrid 2869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → ∅ ∈ 𝑓)
109	108	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝑥 ∈ 𝑓 → ∅ ∈ 𝑓))
110	88, 109	mtod 201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)
111	84, 110	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
112	111	exp31 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 → (𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))))
113	112	reximdvai 3177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
114	71, 113	syl5 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
115	70, 114	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
116	115	3expia 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ⊆ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
117		filssufil 24286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹 ⊆ 𝑓)
118		filelss 24226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
119	118	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑓 → 𝑥 ⊆ 𝑋))
120	85, 119	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑓 → 𝑥 ⊆ 𝑋))
121	120	con3d 153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
122	121	impcom 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)
123	122	a1d 26	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (𝐹 ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
124	123	ancld 560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (𝐹 ⊆ 𝑓 → (𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
125	124	reximdva 3179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹 ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
126	117, 125	syl5com 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
127	126	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹) → (¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
128	116, 127	pm2.61d 181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
129	128	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
130		rexanali 3120	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝑓))
131	129, 130	imbitrdi 254	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → ¬ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝑓)))
132	131	con4d 116	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐹))
133	2, 132	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} → 𝑥 ∈ 𝐹))
134	133	ssrdv 3919	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} ⊆ 𝐹)
135		ssintub 4931	. . 3 ⊢ 𝐹 ⊆ ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓}
136	135	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓})
137	134, 136	eqssd 3930	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} = 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  ∩ cint 4912  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ficfi 9439  fBascfbas 21717  filGencfg 21718  Filcfil 24219  UFilcufil 24273

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-ac2 10580

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-rpss 7771  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-fin 9015  df-fi 9440  df-dju 10019  df-card 10057  df-ac 10234  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-fil 24220  df-ufil 24275

This theorem is used by: (None)