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Theorem filufint 23424
Description: A filter is equal to the intersection of the ultrafilters containing it. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Jan-2010.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filufint (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ ∩ {𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹) ∣ 𝐹 βŠ† 𝑓} = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋
Proof of Theorem filufint
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3479 . . . . 5 π‘₯ ∈ V
21elintrab 4965 . . . 4 (π‘₯ ∈ ∩ {𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹) ∣ 𝐹 βŠ† 𝑓} ↔ βˆ€π‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑓 β†’ π‘₯ ∈ 𝑓))
3 filsspw 23355 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 𝑋)
433ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 𝑋)
5 difss 4132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 βˆ– π‘₯) βŠ† 𝑋
6 filtop 23359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐹)
76difexd 5330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 βˆ– π‘₯) ∈ V)
873ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (𝑋 βˆ– π‘₯) ∈ V)
9 elpwg 4606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 βˆ– π‘₯) ∈ V β†’ ((𝑋 βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 βˆ– π‘₯) βŠ† 𝑋))
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ ((𝑋 βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 βˆ– π‘₯) βŠ† 𝑋))
115, 10mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (𝑋 βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 𝑋)
1211snssd 4813 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ {(𝑋 βˆ– π‘₯)} βŠ† 𝒫 𝑋)
134, 12unssd 4187 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) βŠ† 𝒫 𝑋)
14 ssun1 4173 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 βŠ† (𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})
15 filn0 23366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 β‰  βˆ…)
16 ssn0 4401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 βŠ† (𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) β‰  βˆ…)
1714, 15, 16sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) β‰  βˆ…)
18173ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) β‰  βˆ…)
19 elsni 4646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ {(𝑋 βˆ– π‘₯)} β†’ 𝑧 = (𝑋 βˆ– π‘₯))
20 filelss 23356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
21203adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
22 reldisj 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 βŠ† 𝑋 β†’ ((𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘₯)) = βˆ… ↔ 𝑦 βŠ† (𝑋 βˆ– (𝑋 βˆ– π‘₯))))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ ((𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘₯)) = βˆ… ↔ 𝑦 βŠ† (𝑋 βˆ– (𝑋 βˆ– π‘₯))))
24 dfss4 4259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 βˆ– (𝑋 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
2524biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ βŠ† 𝑋 β†’ (𝑋 βˆ– (𝑋 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
2625sseq2d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ βŠ† 𝑋 β†’ (𝑦 βŠ† (𝑋 βˆ– (𝑋 βˆ– π‘₯)) ↔ 𝑦 βŠ† π‘₯))
27263ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (𝑦 βŠ† (𝑋 βˆ– (𝑋 βˆ– π‘₯)) ↔ 𝑦 βŠ† π‘₯))
2823, 27bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ ((𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘₯)) = βˆ… ↔ 𝑦 βŠ† π‘₯))
29 filss 23357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐹)
30293exp2 1355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝑦 ∈ 𝐹 β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑋 β†’ (𝑦 βŠ† π‘₯ β†’ π‘₯ ∈ 𝐹))))
31303imp 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (𝑦 βŠ† π‘₯ β†’ π‘₯ ∈ 𝐹))
3228, 31sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ ((𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘₯)) = βˆ… β†’ π‘₯ ∈ 𝐹))
3332necon3bd 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ (𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘₯)) β‰  βˆ…))
34333exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝑦 ∈ 𝐹 β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑋 β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ (𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘₯)) β‰  βˆ…))))
3534com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ 𝐹 β†’ (𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘₯)) β‰  βˆ…))))
36353imp1 1348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘₯)) β‰  βˆ…)
37 ineq2 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑋 βˆ– π‘₯) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) = (𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘₯)))
3837neeq1d 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑋 βˆ– π‘₯) β†’ ((𝑦 ∩ 𝑧) β‰  βˆ… ↔ (𝑦 ∩ (𝑋 βˆ– π‘₯)) β‰  βˆ…))
3936, 38syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (𝑧 = (𝑋 βˆ– π‘₯) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) β‰  βˆ…))
4039expimpd 455 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 = (𝑋 βˆ– π‘₯)) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) β‰  βˆ…))
4119, 40sylan2i 607 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) β†’ (𝑦 ∩ 𝑧) β‰  βˆ…))
4241ralrimivv 3199 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ {(𝑋 βˆ– π‘₯)} (𝑦 ∩ 𝑧) β‰  βˆ…)
43 filfbas 23352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
44433ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
455a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (𝑋 βˆ– π‘₯) βŠ† 𝑋)
46253ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘₯) = βˆ…) β†’ (𝑋 βˆ– (𝑋 βˆ– π‘₯)) = π‘₯)
47 difeq2 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 βˆ– π‘₯) = βˆ… β†’ (𝑋 βˆ– (𝑋 βˆ– π‘₯)) = (𝑋 βˆ– βˆ…))
48 dif0 4373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 βˆ– βˆ…) = 𝑋
4947, 48eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 βˆ– π‘₯) = βˆ… β†’ (𝑋 βˆ– (𝑋 βˆ– π‘₯)) = 𝑋)
50493ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘₯) = βˆ…) β†’ (𝑋 βˆ– (𝑋 βˆ– π‘₯)) = 𝑋)
5146, 50eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘₯) = βˆ…) β†’ π‘₯ = 𝑋)
5263ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘₯) = βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ 𝐹)
5351, 52eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘₯) = βˆ…) β†’ π‘₯ ∈ 𝐹)
54533expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ ((𝑋 βˆ– π‘₯) = βˆ… β†’ π‘₯ ∈ 𝐹))
5554necon3bd 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ (𝑋 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ…))
5655ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑋 β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ (𝑋 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ…)))
5756com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑋 β†’ (𝑋 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ…)))
58573imp 1112 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (𝑋 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ…)
5963ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐹)
60 snfbas 23370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 βˆ– π‘₯) βŠ† 𝑋 ∧ (𝑋 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ… ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ {(𝑋 βˆ– π‘₯)} ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
6145, 58, 59, 60syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ {(𝑋 βˆ– π‘₯)} ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
62 fbunfip 23373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ {(𝑋 βˆ– π‘₯)} ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ {(𝑋 βˆ– π‘₯)} (𝑦 ∩ 𝑧) β‰  βˆ…))
6344, 61, 62syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ {(𝑋 βˆ– π‘₯)} (𝑦 ∩ 𝑧) β‰  βˆ…))
6442, 63mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})))
65 fsubbas 23371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ 𝐹 β†’ ((fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ↔ ((𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) β‰  βˆ… ∧ Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})))))
666, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ ((fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ↔ ((𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) β‰  βˆ… ∧ Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})))))
67663ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ ((fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ↔ ((𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) β‰  βˆ… ∧ Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})))))
6813, 18, 64, 67mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
69 fgcl 23382 . . . . . . . . . . 11 ((fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
71 filssufil 23416 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)(𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓)
72 snex 5432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {(𝑋 βˆ– π‘₯)} ∈ V
73 unexg 7736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ {(𝑋 βˆ– π‘₯)} ∈ V) β†’ (𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) ∈ V)
7472, 73mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) ∈ V)
75 ssfii 9414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) ∈ V β†’ (𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) βŠ† (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) βŠ† (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})))
77763ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}) βŠ† (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})))
7877unssad 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 βŠ† (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})))
79 ssfg 23376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})) βŠ† (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))))
8068, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})) βŠ† (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))))
8178, 80sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))))
8281ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) ∧ (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓) β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))))
83 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) ∧ (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓) β†’ (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓)
8482, 83sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) ∧ (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓) β†’ 𝐹 βŠ† 𝑓)
85 ufilfil 23408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹) β†’ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
86 0nelfil 23353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ Β¬ βˆ… ∈ 𝑓)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹) β†’ Β¬ βˆ… ∈ 𝑓)
8887ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) ∧ (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓) β†’ Β¬ βˆ… ∈ 𝑓)
89 disjdif 4472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∩ (𝑋 βˆ– π‘₯)) = βˆ…
9085ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) ∧ ((𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ 𝑓)) β†’ 𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
91 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) ∧ ((𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ 𝑓)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑓)
9276unssbd 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ {(𝑋 βˆ– π‘₯)} βŠ† (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})))
93923ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ {(𝑋 βˆ– π‘₯)} βŠ† (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})))
9493adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) β†’ {(𝑋 βˆ– π‘₯)} βŠ† (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})))
9568adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) β†’ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
9695, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) β†’ (fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})) βŠ† (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))))
9794, 96sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) β†’ {(𝑋 βˆ– π‘₯)} βŠ† (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))))
9897adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) ∧ ((𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ 𝑓)) β†’ {(𝑋 βˆ– π‘₯)} βŠ† (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))))
99 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) ∧ ((𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ 𝑓)) β†’ (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓)
10098, 99sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) ∧ ((𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ 𝑓)) β†’ {(𝑋 βˆ– π‘₯)} βŠ† 𝑓)
101 snidg 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 βˆ– π‘₯) ∈ V β†’ (𝑋 βˆ– π‘₯) ∈ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})
1027, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 βˆ– π‘₯) ∈ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})
1031023ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (𝑋 βˆ– π‘₯) ∈ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})
104103ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) ∧ ((𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ 𝑓)) β†’ (𝑋 βˆ– π‘₯) ∈ {(𝑋 βˆ– π‘₯)})
105100, 104sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) ∧ ((𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ 𝑓)) β†’ (𝑋 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑓)
106 filin 23358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑓 ∧ (𝑋 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑓) β†’ (π‘₯ ∩ (𝑋 βˆ– π‘₯)) ∈ 𝑓)
10790, 91, 105, 106syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) ∧ ((𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ 𝑓)) β†’ (π‘₯ ∩ (𝑋 βˆ– π‘₯)) ∈ 𝑓)
10889, 107eqeltrrid 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) ∧ ((𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓 ∧ π‘₯ ∈ 𝑓)) β†’ βˆ… ∈ 𝑓)
109108expr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) ∧ (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑓 β†’ βˆ… ∈ 𝑓))
11088, 109mtod 197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) ∧ (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑓)
11184, 110jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) ∧ (𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓) β†’ (𝐹 βŠ† 𝑓 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑓))
112111exp31 421 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹) β†’ ((𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓 β†’ (𝐹 βŠ† 𝑓 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑓))))
113112reximdvai 3166 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)(𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) βŠ† 𝑓 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑓 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑓)))
11471, 113syl5 34 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ ((𝑋filGen(fiβ€˜(𝐹 βˆͺ {(𝑋 βˆ– π‘₯)}))) ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑓 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑓)))
11570, 114mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑋) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑓 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑓))
1161153expia 1122 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝑋 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑓 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑓)))
117 filssufil 23416 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)𝐹 βŠ† 𝑓)
118 filelss 23356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑓) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
119118ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑓 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋))
12085, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑓 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋))
121120con3d 152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹) β†’ (Β¬ π‘₯ βŠ† 𝑋 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑓))
122121impcom 409 . . . . . . . . . . . . 13 ((Β¬ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑓)
123122a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((Β¬ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐹 βŠ† 𝑓 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑓))
124123ancld 552 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐹 βŠ† 𝑓 β†’ (𝐹 βŠ† 𝑓 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑓)))
125124reximdva 3169 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ βŠ† 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)𝐹 βŠ† 𝑓 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑓 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑓)))
126117, 125syl5com 31 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (Β¬ π‘₯ βŠ† 𝑋 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑓 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑓)))
127126adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ (Β¬ π‘₯ βŠ† 𝑋 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑓 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑓)))
128116, 127pm2.61d 179 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑓 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑓))
129128ex 414 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑓 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑓)))
130 rexanali 3103 . . . . . 6 (βˆƒπ‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑓 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑓) ↔ Β¬ βˆ€π‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑓 β†’ π‘₯ ∈ 𝑓))
131129, 130imbitrdi 250 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ Β¬ βˆ€π‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑓 β†’ π‘₯ ∈ 𝑓)))
132131con4d 115 . . . 4 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (UFilβ€˜π‘‹)(𝐹 βŠ† 𝑓 β†’ π‘₯ ∈ 𝑓) β†’ π‘₯ ∈ 𝐹))
1332, 132biimtrid 241 . . 3 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ ∩ {𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹) ∣ 𝐹 βŠ† 𝑓} β†’ π‘₯ ∈ 𝐹))
134133ssrdv 3989 . 2 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ ∩ {𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹) ∣ 𝐹 βŠ† 𝑓} βŠ† 𝐹)
135 ssintub 4971 . . 3 𝐹 βŠ† ∩ {𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹) ∣ 𝐹 βŠ† 𝑓}
136135a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 βŠ† ∩ {𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹) ∣ 𝐹 βŠ† 𝑓})
137134, 136eqssd 4000 1 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ ∩ {𝑓 ∈ (UFilβ€˜π‘‹) ∣ 𝐹 βŠ† 𝑓} = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆ© cint 4951  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  ficfi 9405  fBascfbas 20932  filGencfg 20933  Filcfil 23349  UFilcufil 23403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-ac2 10458
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-rpss 7713  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-fi 9406  df-dju 9896  df-card 9934  df-ac 10111  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-fil 23350  df-ufil 23405
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