Theorem filufint 23903

Description: A filter is equal to the intersection of the ultrafilters containing it. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Jan-2010.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filufint	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} = 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋

Proof of Theorem filufint

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3435	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elintrab 4890	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} ↔ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝑓))
3		filsspw 23834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
4	3	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
5		difss 4066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋
6		filtop 23838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
7	6	difexd 5259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ V)
8	7	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ V)
9		elpwg 4532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ V → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋))
11	5, 10	mpbiri 259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
12	11	snssd 4718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ 𝒫 𝑋)
13	4, 12	unssd 4121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋)
14		ssun1 4107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 ⊆ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
15		filn0 23845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
16		ssn0 4332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ⊆ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅)
17	14, 15, 16	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅)
18	17	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅)
19		elsni 4572	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)} → 𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥))
20		filelss 23835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
21	20	3adant3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
22		reldisj 4381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑋 → ((𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥))))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥))))
24		dfss4 4197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
25	24	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
26	25	sseq2d 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
27	26	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
28	23, 27	bitrd 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
29		filss 23836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐹)
30	29	3exp2 1361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐹))))
31	30	3imp 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐹))
32	28, 31	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
33	32	necon3bd 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
34	33	3exp 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))))
35	34	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑦 ∈ 𝐹 → (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))))
36	35	3imp1 1354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅)
37		ineq2 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑦 ∩ 𝑧) = (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)))
38	37	neeq1d 2993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥) → ((𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅ ↔ (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
39	36, 38	syl5ibrcom 248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
40	39	expimpd 454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥)) → (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
41	19, 40	sylan2i 612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) → (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
42	41	ralrimivv 3180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)} (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅)
43		filfbas 23831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
44	43	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
45	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋)
46	25	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
47		difeq2 4051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) = ∅ → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = (𝑋 ∖ ∅))
48		dif0 4306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑋 ∖ ∅) = 𝑋
49	47, 48	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) = ∅ → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑋)
50	49	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑋)
51	46, 50	eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → 𝑥 = 𝑋)
52	6	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → 𝑋 ∈ 𝐹)
53	51, 52	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → 𝑥 ∈ 𝐹)
54	53	3expia 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑥) = ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
55	54	necon3bd 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅))
56	55	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅)))
57	56	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅)))
58	57	3imp 1116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅)
59	6	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
60		snfbas 23849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋))
61	45, 58, 59, 60	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋))
62		fbunfip 23852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)} (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
63	44, 61, 62	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)} (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
64	42, 63	mpbird 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
65		fsubbas 23850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐹 → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))))
66	6, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))))
67	66	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))))
68	13, 18, 64, 67	mpbir3and 1349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋))
69		fgcl 23861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋))
71		filssufil 23895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
72		snex 5368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ V
73		unexg 7686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ V) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ∈ V)
74	72, 73	mpan2 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ∈ V)
75		ssfii 9322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ∈ V → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
77	76	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
78	77	unssad 4122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
79		ssfg 23855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
80	68, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
81	78, 80	sstrd 3925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
82	81	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
83		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
84	82, 83	sstrd 3925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → 𝐹 ⊆ 𝑓)
85		ufilfil 23887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
86		0nelfil 23832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝑓)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝑓)
88	87	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → ¬ ∅ ∈ 𝑓)
89		disjdif 4400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅
90	85	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
91		simprr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → 𝑥 ∈ 𝑓)
92	76	unssbd 4123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
93	92	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
95	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋))
96	95, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
97	94, 96	sstrd 3925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
99		simprl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
100	98, 99	sstrd 3925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ 𝑓)
101		snidg 4592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ V → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
102	7, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
103	102	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
104	103	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
105	100, 104	sseldd 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓)
106		filin 23837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓) → (𝑥 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑓)
107	90, 91, 105, 106	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → (𝑥 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑓)
108	89, 107	eqeltrrid 2844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → ∅ ∈ 𝑓)
109	108	expr 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝑥 ∈ 𝑓 → ∅ ∈ 𝑓))
110	88, 109	mtod 199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)
111	84, 110	jca 516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
112	111	exp31 420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 → (𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))))
113	112	reximdvai 3150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
114	71, 113	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
115	70, 114	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
116	115	3expia 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ⊆ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
117		filssufil 23895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹 ⊆ 𝑓)
118		filelss 23835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
119	118	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑓 → 𝑥 ⊆ 𝑋))
120	85, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑓 → 𝑥 ⊆ 𝑋))
121	120	con3d 152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
122	121	impcom 408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)
123	122	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (𝐹 ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
124	123	ancld 555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (𝐹 ⊆ 𝑓 → (𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
125	124	reximdva 3152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹 ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
126	117, 125	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
127	126	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹) → (¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
128	116, 127	pm2.61d 180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
129	128	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
130		rexanali 3093	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝑓))
131	129, 130	imbitrdi 252	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → ¬ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝑓)))
132	131	con4d 115	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐹))
133	2, 132	biimtrid 243	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} → 𝑥 ∈ 𝐹))
134	133	ssrdv 3921	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} ⊆ 𝐹)
135		ssintub 4896	. . 3 ⊢ 𝐹 ⊆ ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓}
136	135	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓})
137	134, 136	eqssd 3932	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} = 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529  {csn 4555  ∩ cint 4877  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ficfi 9313  fBascfbas 21335  filGencfg 21336  Filcfil 23828  UFilcufil 23882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-ac2 10376

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-rpss 7666  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-fin 8887  df-fi 9314  df-dju 9816  df-card 9854  df-ac 10029  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-fil 23829  df-ufil 23884

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