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Theorem filufint 23949
Description: A filter is equal to the intersection of the ultrafilters containing it. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Jan-2010.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filufint (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋
Proof of Theorem filufint
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3492 . . . . 5 𝑥 ∈ V
21elintrab 4984 . . . 4 (𝑥 ∈ ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} ↔ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝑓))
3 filsspw 23880 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
433ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
5 difss 4159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋
6 filtop 23884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
76difexd 5349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ V)
873ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ V)
9 elpwg 4625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ V → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋))
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋))
115, 10mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
1211snssd 4834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ 𝒫 𝑋)
134, 12unssd 4215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋)
14 ssun1 4201 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 ⊆ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
15 filn0 23891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
16 ssn0 4427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ⊆ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅)
1714, 15, 16sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅)
18173ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅)
19 elsni 4665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)} → 𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥))
20 filelss 23881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
21203adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
22 reldisj 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ⊆ 𝑋 → ((𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥))))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥))))
24 dfss4 4288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
2524biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
2625sseq2d 4041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
27263ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
2823, 27bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
29 filss 23882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐹)
30293exp2 1354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐹))))
31303imp 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐹))
3228, 31sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
3332necon3bd 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
34333exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))))
3534com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑦 ∈ 𝐹 → (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))))
36353imp1 1347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅)
37 ineq2 4235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑦 ∩ 𝑧) = (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)))
3837neeq1d 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥) → ((𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅ ↔ (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
3936, 38syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
4039expimpd 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥)) → (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
4119, 40sylan2i 605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) → (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
4241ralrimivv 3206 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)} (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅)
43 filfbas 23877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
44433ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
455a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋)
46253ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
47 difeq2 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 ∖ 𝑥) = ∅ → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = (𝑋 ∖ ∅))
48 dif0 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 ∖ ∅) = 𝑋
4947, 48eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∖ 𝑥) = ∅ → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑋)
50493ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑋)
5146, 50eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → 𝑥 = 𝑋)
5263ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → 𝑋 ∈ 𝐹)
5351, 52eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → 𝑥 ∈ 𝐹)
54533expia 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑥) = ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
5554necon3bd 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅))
5655ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅)))
5756com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅)))
58573imp 1111 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅)
5963ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
60 snfbas 23895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋))
6145, 58, 59, 60syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋))
62 fbunfip 23898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)} (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
6344, 61, 62syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)} (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
6442, 63mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
65 fsubbas 23896 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ 𝐹 → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))))
666, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))))
67663ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))))
6813, 18, 64, 67mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋))
69 fgcl 23907 . . . . . . . . . . 11 ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋))
71 filssufil 23941 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
72 snex 5451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ V
73 unexg 7778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ V) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ∈ V)
7472, 73mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ∈ V)
75 ssfii 9488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ∈ V → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
77763ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
7877unssad 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
79 ssfg 23901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
8068, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
8178, 80sstrd 4019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
8281ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
83 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
8482, 83sstrd 4019 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → 𝐹 ⊆ 𝑓)
85 ufilfil 23933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
86 0nelfil 23878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝑓)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝑓)
8887ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → ¬ ∅ ∈ 𝑓)
89 disjdif 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅
9085ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
91 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → 𝑥 ∈ 𝑓)
9276unssbd 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
93923ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
9568adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋))
9695, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
9794, 96sstrd 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
9897adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
99 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
10098, 99sstrd 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ 𝑓)
101 snidg 4682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ V → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
1027, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
1031023ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
104103ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
105100, 104sseldd 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓)
106 filin 23883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓) → (𝑥 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑓)
10790, 91, 105, 106syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → (𝑥 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑓)
10889, 107eqeltrrid 2849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → ∅ ∈ 𝑓)
109108expr 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝑥 ∈ 𝑓 → ∅ ∈ 𝑓))
11088, 109mtod 198 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)
11184, 110jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
112111exp31 419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 → (𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))))
113112reximdvai 3171 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
11471, 113syl5 34 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
11570, 114mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
1161153expia 1121 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ⊆ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
117 filssufil 23941 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹 ⊆ 𝑓)
118 filelss 23881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
119118ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑓 → 𝑥 ⊆ 𝑋))
12085, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑓 → 𝑥 ⊆ 𝑋))
121120con3d 152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
122121impcom 407 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)
123122a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (𝐹 ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
124123ancld 550 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (𝐹 ⊆ 𝑓 → (𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
125124reximdva 3174 . . . . . . . . . 10 (¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹 ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
126117, 125syl5com 31 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
127126adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹) → (¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
128116, 127pm2.61d 179 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
129128ex 412 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
130 rexanali 3108 . . . . . 6 (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝑓))
131129, 130imbitrdi 251 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → ¬ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝑓)))
132131con4d 115 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐹))
1332, 132biimtrid 242 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} → 𝑥 ∈ 𝐹))
134133ssrdv 4014 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} ⊆ 𝐹)
135 ssintub 4990 . . 3 𝐹 ⊆ ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓}
136135a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓})
137134, 136eqssd 4026 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  ∩ cint 4970  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ficfi 9479  fBascfbas 21375  filGencfg 21376  Filcfil 23874  UFilcufil 23928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-ac2 10532
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-rpss 7758  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-fin 9007  df-fi 9480  df-dju 9970  df-card 10008  df-ac 10185  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-fil 23875  df-ufil 23930
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