Theorem filufint 23805

Description: A filter is equal to the intersection of the ultrafilters containing it. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Jan-2010.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filufint	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} = 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋

Proof of Theorem filufint

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elintrab 4910	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} ↔ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝑓))
3		filsspw 23736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
4	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
5		difss 4087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋
6		filtop 23740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
7	6	difexd 5270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ V)
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ V)
9		elpwg 4554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ V → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋))
11	5, 10	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
12	11	snssd 4760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ 𝒫 𝑋)
13	4, 12	unssd 4143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋)
14		ssun1 4129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 ⊆ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
15		filn0 23747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
16		ssn0 4355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ⊆ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅)
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅)
18	17	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅)
19		elsni 4594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)} → 𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥))
20		filelss 23737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
21	20	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
22		reldisj 4404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑋 → ((𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥))))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥))))
24		dfss4 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
25	24	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
26	25	sseq2d 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
27	26	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ⊆ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
28	23, 27	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅ ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
29		filss 23738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐹)
30	29	3exp2 1355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐹))))
31	30	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐹))
32	28, 31	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
33	32	necon3bd 2939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
34	33	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))))
35	34	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑦 ∈ 𝐹 → (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))))
36	35	3imp1 1348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅)
37		ineq2 4165	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑦 ∩ 𝑧) = (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)))
38	37	neeq1d 2984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥) → ((𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅ ↔ (𝑦 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≠ ∅))
39	36, 38	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
40	39	expimpd 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 = (𝑋 ∖ 𝑥)) → (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
41	19, 40	sylan2i 606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) → (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
42	41	ralrimivv 3170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)} (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅)
43		filfbas 23733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
44	43	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
45	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋)
46	25	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
47		difeq2 4071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) = ∅ → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = (𝑋 ∖ ∅))
48		dif0 4329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑋 ∖ ∅) = 𝑋
49	47, 48	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) = ∅ → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑋)
50	49	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑋)
51	46, 50	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → 𝑥 = 𝑋)
52	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → 𝑋 ∈ 𝐹)
53	51, 52	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) = ∅) → 𝑥 ∈ 𝐹)
54	53	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑥) = ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹))
55	54	necon3bd 2939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅))
56	55	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅)))
57	56	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅)))
58	57	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅)
59	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
60		snfbas 23751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋))
61	45, 58, 59, 60	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋))
62		fbunfip 23754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)} (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
63	44, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)} (𝑦 ∩ 𝑧) ≠ ∅))
64	42, 63	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
65		fsubbas 23752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐹 → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))))
66	6, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))))
67	66	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))))
68	13, 18, 64, 67	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋))
69		fgcl 23763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋))
71		filssufil 23797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
72		snex 5375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ V
73		unexg 7679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ {(𝑋 ∖ 𝑥)} ∈ V) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ∈ V)
74	72, 73	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ∈ V)
75		ssfii 9309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ∈ V → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
77	76	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}) ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
78	77	unssad 4144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
79		ssfg 23757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
80	68, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
81	78, 80	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
82	81	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
83		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
84	82, 83	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → 𝐹 ⊆ 𝑓)
85		ufilfil 23789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
86		0nelfil 23734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝑓)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝑓)
88	87	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → ¬ ∅ ∈ 𝑓)
89		disjdif 4423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) = ∅
90	85	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
91		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → 𝑥 ∈ 𝑓)
92	76	unssbd 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
93	92	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})))
95	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ∈ (fBas‘𝑋))
96	95, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
97	94, 96	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
98	97	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))))
99		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓)
100	98, 99	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → {(𝑋 ∖ 𝑥)} ⊆ 𝑓)
101		snidg 4612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ V → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
102	7, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
103	102	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
104	103	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {(𝑋 ∖ 𝑥)})
105	100, 104	sseldd 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓)
106		filin 23739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓 ∧ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓) → (𝑥 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑓)
107	90, 91, 105, 106	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → (𝑥 ∩ (𝑋 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑓)
108	89, 107	eqeltrrid 2833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 ∧ 𝑥 ∈ 𝑓)) → ∅ ∈ 𝑓)
109	108	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝑥 ∈ 𝑓 → ∅ ∈ 𝑓))
110	88, 109	mtod 198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)
111	84, 110	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓) → (𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
112	111	exp31 419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 → (𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))))
113	112	reximdvai 3140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
114	71, 113	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ((𝑋filGen(fi‘(𝐹 ∪ {(𝑋 ∖ 𝑥)}))) ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
115	70, 114	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
116	115	3expia 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ⊆ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
117		filssufil 23797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹 ⊆ 𝑓)
118		filelss 23737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
119	118	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑓 → 𝑥 ⊆ 𝑋))
120	85, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑓 → 𝑥 ⊆ 𝑋))
121	120	con3d 152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
122	121	impcom 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)
123	122	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (𝐹 ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
124	123	ancld 550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → (𝐹 ⊆ 𝑓 → (𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
125	124	reximdva 3142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹 ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
126	117, 125	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
127	126	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹) → (¬ 𝑥 ⊆ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
128	116, 127	pm2.61d 179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐹) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓))
129	128	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓)))
130		rexanali 3083	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑓) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝑓))
131	129, 130	imbitrdi 251	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐹 → ¬ ∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝑓)))
132	131	con4d 115	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)(𝐹 ⊆ 𝑓 → 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐹))
133	2, 132	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} → 𝑥 ∈ 𝐹))
134	133	ssrdv 3941	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} ⊆ 𝐹)
135		ssintub 4916	. . 3 ⊢ 𝐹 ⊆ ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓}
136	135	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓})
137	134, 136	eqssd 3953	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∩ {𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∣ 𝐹 ⊆ 𝑓} = 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3394  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  {csn 4577  ∩ cint 4896  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ficfi 9300  fBascfbas 21249  filGencfg 21250  Filcfil 23730  UFilcufil 23784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-ac2 10357

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-rpss 7659  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-fin 8876  df-fi 9301  df-dju 9797  df-card 9835  df-ac 10010  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-fil 23731  df-ufil 23786

This theorem is referenced by: (None)